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【答案】:[证明]因为AA*=|A|E ①
①式两边取行列式,得:|A||A*|=|A|n
若|A|≠0,则|A*|=|A|n-1.
若|A|=0.则|A*|=0,否则,若|A*|≠0,则A*可逆.
由|A|=0得:①式为AA*=O. ②
②式两边同时右乘以(A*)-1,得
AA*(A*)-1=O。即A=O,从而A*=O,与|A*|≠0矛盾,所以|A*|=0
即当|A|=0时,|A*|=0,有|A*|=|A|n-1成立.
综上所述,对n阶方阵A(n≥2),有|A*|=|A|n-1.
①式两边取行列式,得:|A||A*|=|A|n
若|A|≠0,则|A*|=|A|n-1.
若|A|=0.则|A*|=0,否则,若|A*|≠0,则A*可逆.
由|A|=0得:①式为AA*=O. ②
②式两边同时右乘以(A*)-1,得
AA*(A*)-1=O。即A=O,从而A*=O,与|A*|≠0矛盾,所以|A*|=0
即当|A|=0时,|A*|=0,有|A*|=|A|n-1成立.
综上所述,对n阶方阵A(n≥2),有|A*|=|A|n-1.
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