Question

不用分块的知识怎么理解矩阵乘积的秩不大于各矩阵的秩？

Answer 1

矩阵乘积的秩不大于各矩阵的秩是一个重要的性质，其直观理解如下：
对于两个矩阵A和B的乘积AB，每一行可以看做是A的一行向量与B进行线性组合得到的结果。如果A的秩为r1，那么A中必然存在r1个线性独立的行向量，这些向量可以张成一个r1维的子空间。对于B而言，每一列可以看做是B的一个列向量，这些列向量的数量为矩阵B的列数。如果B的秩为r2，那么B中必然存在r2个线性独立的列向量，这些向量可以张成一个r2维的子空间。
由于矩阵乘积AB的每一行都可以看做是A的一个行向量与B进行线性组合的结果，因此AB的行向量的张成子空间必然包含在A的行向量张成的子空间中。也就是说，AB的行向量的维数不能超过A的行向量维数，即AB的秩不大于A的秩。
同理，由于矩阵乘积AB的每一列都可以看做是B的一个列向量与A进行线性组合的结果，因此AB的列向量的张成子空间必然包含在B的列向量张成的子空间中。也就是说，AB的列向量的维数不能超过B的列向量维数，即AB的秩不大于B的秩。
综上所述，矩阵乘积的秩不大于各矩阵的秩。