初三上册数学期中试卷及答案人教版
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一、填空题(每空2分,共22分)
1.方程﹣3x2﹣2x=0的二次项系数是 ,常数项是 .
2.已知关于x的一元二次方程4x2+(k+1)x+2=0的一个根是2,那么k= ,另一根是 .
3.若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 .
4.二次函数y=﹣3x2+6x+9的图象的开口方向 ,它与y轴的交点坐标是 .
5.已知抛物线y=﹣2(x+1)2﹣3,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是 .
6.将抛物线y=x2向左平移4个单位后,再向下平移2个单位,则此时抛物线的解析式是 .
7.当k 时,抛物线y=x2﹣3x+k的顶点在x轴上方.
8.如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样的正方形,可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒,设剪去的正方形边长为xcm,则可列出关于x的方程为 .
二、选择题(每空3分,共24分)
9.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根,则该三角形的周长为( )
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对
10.设a是方程x2+x﹣2009=0的一个实数根,则a2+a﹣1的值为( )
A. 2006 B. 2007 C. 2008 D. 2009
11.为了改善居民住房条件,我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2.若每年的年增长率相同,设年增长率为x,则可列方程为( )
A. 10(1+x)2=12.1 B. 10(1﹣x)2=12.1 C. 10(1+2x)2=12.1 D. 10(1﹣2x)2=12.1
12.若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1+x2的值是( )
A. 1 B. 5 C. ﹣5 D. 6
13.方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是( )
A. 方程有两个不相等的实数根
B. 方程有两个相等的实数根
C. 方程没有实数根
D. 方程的根的情况与k的取值有关
14.二次函数y=﹣(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标是( )
A. (﹣1,3) B. (1,3) C. (﹣1,﹣3) D. (1,﹣3)
15.已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上,则c等于( )
A. 4 B. 8 C. ﹣4 D. 16
16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式不正确的是( )
A. a<0 B. abc>0 C. a+b+c>0 D. b2﹣4ac>0
三、计算题(每4分,共16分)
17.用你熟悉的方法解方程:(x﹣3)2+2x(x﹣3)=0.
18.用配方法解方程:2x2+1=3x.
19.用两种方法解方程:x2﹣6x﹣7=0.
四、简答题(共38分)
20.已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根,求m的值及方程的根.
21.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本
(1)求每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润?利润是多少?
22.在体育测试时,初三的一名高个子男同学推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如图所示,如果这个男同学的出手处A点的坐标(0,2),铅球路线的处B点的坐标为(6,5).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01米, =3.873)
23.某校团委准备举办学生绘画展览,为了美化画面,在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸和画的面积和恰好是原画的面积的2倍,求彩纸的宽度.
2014-2015学年x疆巴州蒙古族高中九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(每空2分,共22分)
1.方程﹣3x2﹣2x=0的二次项系数是 ﹣3 ,常数项是 0 .
考点: 一元二次方程的一般形式.
分析: 根据一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项可得答案.
解答: 解:方程﹣3x2﹣2x=0的二次项系数是﹣3,常数项是0,
故答案为:﹣3;0.
点评: 此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键是掌握要确定一次项系数和常数项,首先要把方程化成一般形式.
2.已知关于x的一元二次方程4x2+(k+1)x+2=0的一个根是2,那么k= ﹣10 ,另一根是 .
考点: 一元二次方程的解;根与系数的关系.
分析: 可设出方程的另一个根,根据一元二次方程根与系数的关系,可得两根之积是﹣4,两根之和是﹣k,即可列出方程组,解方程组即可求出k值和方程的另一根.
解答: 解:设方程的两个根分别是x1、x2.
又∵x2=2
∴根据韦达定理,得
,
解得 ,
故答案为:﹣10, .
点评: 考查了一元二次方程的解,能够对方程进行适当的变形是解答本题的关键,难度不大.
3.若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 k≤9,且k≠0 .
考点: 根的判别式.
分析: 若一元二次方程有两实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac≥0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.还要注意二次项系数不为0.
解答: 解:∵方程有两个实数根,
∴△=b2﹣4ac=36﹣4k≥0,
即k≤9,且k≠0
点评: 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
4.二次函数y=﹣3x2+6x+9的图象的开口方向 向下 ,它与y轴的交点坐标是 (0,9) .
考点: 二次函数的性质.
分析: 根据a=﹣3可判断函数开口的方向;令x=0,可求y的值,即可求出与y轴的交点坐标.
解答: 解:∵a=﹣3<0,
∴图象开口向下;
把x=0代入函数解析式,得y=9.
∴函数与y轴的交点坐标是(0,9).
点评: 二次函数,当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下.求与y轴的交点,也就是让x=0求出y的值.
5.已知抛物线y=﹣2(x+1)2﹣3,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是 x>﹣1 .
考点: 二次函数的性质.
分析: 根据二次函数的图象开口方向及对称轴求解.
解答: 解:因为a=﹣2<0,抛物线开口向下,
又对称轴为直线x=﹣1,
所以当y随x的增大而减小时,x>﹣1.
点评: 主要考查了二次函数的单调性.
6.将抛物线y=x2向左平移4个单位后,再向下平移2个单位,则此时抛物线的解析式是 y=(x+4)2﹣2或y=x2+8x+14 .
考点: 二次函数图象与几何变换.
分析: 因为抛物线y=x2向左平移4个单位后,再向下平移2个单位,所以新抛物线的解析式为y=(x+4)2﹣2.
解答: 解:∵向左平移4个单位后,再向下平移2个单位.∴y=(x+4)2﹣2=x2+8x+14.故此时抛物线的解析式是y=(x+4)2﹣2=x2+8x+14.
点评: 主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.
7.当k 时,抛物线y=x2﹣3x+k的顶点在x轴上方.
考点: 二次函数的性质.
分析: 此题可先求出抛物线y=x2﹣3x+k的顶点坐标,又因顶点在x轴上方,所以只需令顶点纵坐标大于0即可.
解答: 解:将抛物线y=x2﹣3x+k变形,得:y=(x﹣ )2+k﹣ ,
又顶点在x轴上方,则需令k﹣ >0,解不等式得:k> ,
则当k> 时,抛物线y=x2﹣3x+k的顶点在x轴上方.
点评: 本题考查了二次函数的性质,将顶点坐标与不等式结合起来,有一定的综合性.
8.如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样的正方形,可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒,设剪去的正方形边长为xcm,则可列出关于x的方程为 (9﹣2x)•(5﹣2x)=12 .
考点: 由实际问题抽象出一元二次方程.
专题: 几何图形问题;压轴题.
分析: 由于剪去的正方形边长为xcm,那么长方体纸盒的底面的长为(9﹣2x),宽为(5﹣2x),然后根据底面积是12cm2即可列出方程.
解答: 解:设剪去的正方形边长为xcm,
依题意得(9﹣2x)•(5﹣2x)=12,
故填空答案:(9﹣2x)•(5﹣2x)=12.
点评: 此题首先要注意读懂题意,正确理解题意,然后才能利用题目的数量关系列出方程.
二、选择题(每空3分,共24分)
9.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根,则该三角形的周长为( )
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对
考点: 解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系.
分析: 易得方程的两根,那么根据三角形的三边关系,排除不合题意的边,进而求得三角形周长即可.
解答: 解:解方程x2﹣12x+35=0得:x=5或x=7.
当x=7时,3+4=7,不能组成三角形;
当x=5时,3+4>5,三边能够组成三角形.
∴该三角形的周长为3+4+5=12,故选B.
点评: 本题主要考查三角形三边关系,注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形.
10.设a是方程x2+x﹣2009=0的一个实数根,则a2+a﹣1的值为( )
A. 2006 B. 2007 C. 2008 D. 2009
考点: 一元二次方程的解;代数式求值.
分析: 根据一元二次方程的解的定义,将a代入已知方程,即可求得(a2+a)的值.
解答: 解:根据题意,得
a2+a﹣2009=0,
解得,a2+a=2009,
所以a2+a﹣1=2009﹣1=2008.
故选:C.
点评: 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
11.为了改善居民住房条件,我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2.若每年的年增长率相同,设年增长率为x,则可列方程为( )
A. 10(1+x)2=12.1 B. 10(1﹣x)2=12.1 C. 10(1+2x)2=12.1 D. 10(1﹣2x)2=12.1
考点: 由实际问题抽象出一元二次方程.
专题: 增长率问题.
分析: 如果设年增长率为x,则可以根据“住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2”作为相等关系得到方程10(1+x)2=12.1.
解答: 解:设每年的增长率为x,根据题意得10(1+x)2=12.1,
故选A.
点评: 本题考查数量平均变化率问题.原来的数量(价格)为a,平均每次增长或降低的百分率为x的话,经过第一次调整,就调整到a(1±x),再经过第二次调整就是a(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”,下降用“﹣”.
12.若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1+x2的值是( )
A. 1 B. 5 C. ﹣5 D. 6
考点: 根与系数的关系.
分析: 依据一元二次方程根与系数的关系可知,x1+x2=﹣ ,这里a=1,b=﹣5,据此即可求解.
解答: 解:依据一元二次方程根与系数得:x1+x2=5.
故选B.
点评: 本题考查了一元二次方程根与系数的关系.解答这类题学生常常因记不准确上面的根与系数的关系式而误选C.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x1+x2=﹣ ,x1•x2= .
13.方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是( )
A. 方程有两个不相等的实数根
B. 方程有两个相等的实数根
C. 方程没有实数根
D. 方程的根的情况与k的取值有关
考点: 根的判别式.
分析: 求出方程的判别式后,根据判别式与0的大小关系来判断根的情况.
解答: 解:∵方程的△=k2+4>0,
故方程有两个不相等的实数根.
故选A
点评: 总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
14.二次函数y=﹣(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标是( )
A. (﹣1,3) B. (1,3) C. (﹣1,﹣3) D. (1,﹣3)
考点: 二次函数的性质.
专题: 压轴题.
分析: 根据二次函数的顶点式一般形式的特点,可直接写出顶点坐标.
解答: 解:二次函数y=﹣(x﹣1)2+3为顶点式,其顶点坐标为(1,3).
故选B.
点评: 主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法.
15.已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上,则c等于( )
A. 4 B. 8 C. ﹣4 D. 16
考点: 待定系数法求二次函数解析式.
分析: 顶点在x轴上,所以顶点的纵坐标是0.据此作答.
解答: 解:根据题意,得 =0,
解得c=16.
故选D.
点评: 本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式,比较简单.
16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式不正确的是( )
A. a<0 B. abc>0 C. a+b+c>0 D. b2﹣4ac>0
考点: 二次函数图象与系数的关系.
分析: 由抛物线开口向下得到a<0,由抛物线与y轴交于正半轴知道c>0,而称轴在y轴左边,得到﹣ <0,所以b<0,abc>0,而抛物线与x轴有两个交点,得到b2﹣4ac>0,又当x=1时,y<0,由此得到a+b+c<0.
解答: 解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴c>0,
∵对称轴在y轴左边,﹣ <0,
∴b<0,abc>0,
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,
当x=1时,y<0,
∴a+b+c<0.
故选C.
点评: 本题主要考查二次函数的图象和性质问题.
三、计算题(每4分,共16分)
17.用你熟悉的方法解方程:(x﹣3)2+2x(x﹣3)=0.
考点: 解一元二次方程-因式分解法.
分析: 利用因式分解法即可将原方程变为3(x﹣3)(x﹣1)=0,继而可求得此方程的根.
解答: 解:∵(x﹣3)2+2x(x﹣3)=0,
∴(x﹣3)[(x﹣3)+2x]=0,
∴(x﹣3)(3x﹣3)=0,
∴3(x﹣3)(x﹣1)=0,
∴x﹣3=0或x﹣1=0,
解得:x1=3,x2=1.
点评: 此题考查了因式分解法解一元二次方程的知识.此题比较简单,解题的关键是提取公因式(x﹣3),将原方程化为3(x﹣3)(x﹣1)=0的形式求解.
18.用配方法解方程:2x2+1=3x.
考点: 解一元二次方程-配方法.
专题: 计算题.
分析: 首先把方程的二次项系数变成1,然后等式的两边同时加上一次项系数的一半,则方程的左边就是完全平方式,右边是常数的形式,再利用直接开平方的方法即可求解.
解答: 解:移项,得2x2﹣3x=﹣1,
二次项系数化为1,得 ,
配方 ,
,
由此可得 ,
∴x1=1, .
点评: 配方法是一种重要的数学方法,是中考的一个重要考点,我们应该熟练掌握.
本题考查用配方法解一元二次方程,应先移项,整理成一元二次方程的一般形式,即ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,然后再配方求解.
19.用两种方法解方程:x2﹣6x﹣7=0.
考点: 解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法.
分析: 先把等号的左边进行因式分解,求出x的值;
先找出一元二次方程中的a,b,c的值,再根据求根公式即可得出答案.
解答: 解:(1)x2﹣6x﹣7=0
(x﹣7)(x+1)=0,
x1=7,x2=﹣1;
(2)x2﹣6x﹣7=0
∵a=1,b=﹣6,c=﹣7,
∴x= = ,
∴x1=7,x2=﹣1.
点评: 本题考查了解一元一次方程,用到的知识点是因式分解和公式法解一元二次方程,掌握公式法解一元二次方程的步骤是本题的关键.
四、简答题(共38分)
20.已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根,求m的值及方程的根.
考点: 根的判别式.
分析: 首先根据原方程根的情况,利用根的判别式求出m的值,即可确定原一元二次方程,进而可求出方程的根.
解答: 解:∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=(﹣m)2﹣4×1×(m﹣1)=m2﹣4m+4=(m﹣2)2=0,
∴m=2,
∴关于x的一元二次方程是x2﹣2x+1=0,
∴(x﹣1)2=0,
解得x1=x2=1.
点评: 此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
21.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本
(1)求每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润?利润是多少?
考点: 二次函数的应用.
专题: 销售问题.
分析: (1)根据“利润=(售价﹣成本)×销售量”列出方程;
(2)把(1)中的二次函数解析式转化为顶点式方程,利用二次函数图象的性质进行解答.
解答: 解:(1)y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]
=(x﹣50)(﹣5x+550)
=﹣5x2+800x﹣27500
所以y=﹣5x2+800x﹣27500(50≤x≤100);
(2)y=﹣5x2+800x﹣27500
=﹣5(x﹣80)2+4500
∵a=﹣5<0,
∴抛物线开口向下.
∵50≤x≤100,对称轴是直线x=80,
∴当x=80时,y值=4500;
即销售单价为80元时,每天的销售利润,利润是4500元.
点评: 此题题考查二次函数的实际应用.为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
22.在体育测试时,初三的一名高个子男同学推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如图所示,如果这个男同学的出手处A点的坐标(0,2),铅球路线的处B点的坐标为(6,5).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01米, =3.873)
考点: 二次函数的应用.
分析: (1)由点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式,再将(0,2)代入即可求解.
(2)由(1)求得的函数解析式,令y=0,求得的x的正值即为铅球推出的距离.
解答: 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣h)2+k,
由于顶点坐标为(6,5),
∴y=a(x﹣6)2+5.
又A(0,2)在抛物线上,
∴2=62•a+5,
解得:a=﹣ .
∴二次函数的解析式为y=﹣ (x﹣6)2+5,
整理得:y=﹣ x2+x+2.
(2)当y=0时,﹣ x2+x+2=0.
x=6+2 ,x=6﹣2 (不合题意,舍去).
∴x=6+2 ≈13.75(米).
答:该同学把铅球抛出13.75米.
点评: 本题考查了二次函数在实际生活中的应用,重点是函数解析式的求法.
23.某校团委准备举办学生绘画展览,为了美化画面,在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸和画的面积和恰好是原画的面积的2倍,求彩纸的宽度.
考点: 一元二次方程的应用.
专题: 几何图形问题.
分析: 设彩纸的宽度为xcm,镶上彩纸过后的长为(30+2x)cm,宽为(20+2x)cm,根据彩纸和画的面积和恰好是原画的面积的2倍建立方程求出其解即可.
解答: 解:设彩纸的宽度为xcm,镶上彩纸过后的长为(30+2x)cm,宽为(20+2x)cm,由题意,得
(30+2x)(20+2x)=2×30×20,
解得:x1=﹣30(舍去),x2=5.
答:彩纸的宽度为5cm.
点评: 本题考查了矩形的面积公式的运用,列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据彩纸和画的面积和恰好是原画的面积的2倍建立方程是关键.
1.方程﹣3x2﹣2x=0的二次项系数是 ,常数项是 .
2.已知关于x的一元二次方程4x2+(k+1)x+2=0的一个根是2,那么k= ,另一根是 .
3.若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 .
4.二次函数y=﹣3x2+6x+9的图象的开口方向 ,它与y轴的交点坐标是 .
5.已知抛物线y=﹣2(x+1)2﹣3,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是 .
6.将抛物线y=x2向左平移4个单位后,再向下平移2个单位,则此时抛物线的解析式是 .
7.当k 时,抛物线y=x2﹣3x+k的顶点在x轴上方.
8.如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样的正方形,可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒,设剪去的正方形边长为xcm,则可列出关于x的方程为 .
二、选择题(每空3分,共24分)
9.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根,则该三角形的周长为( )
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对
10.设a是方程x2+x﹣2009=0的一个实数根,则a2+a﹣1的值为( )
A. 2006 B. 2007 C. 2008 D. 2009
11.为了改善居民住房条件,我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2.若每年的年增长率相同,设年增长率为x,则可列方程为( )
A. 10(1+x)2=12.1 B. 10(1﹣x)2=12.1 C. 10(1+2x)2=12.1 D. 10(1﹣2x)2=12.1
12.若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1+x2的值是( )
A. 1 B. 5 C. ﹣5 D. 6
13.方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是( )
A. 方程有两个不相等的实数根
B. 方程有两个相等的实数根
C. 方程没有实数根
D. 方程的根的情况与k的取值有关
14.二次函数y=﹣(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标是( )
A. (﹣1,3) B. (1,3) C. (﹣1,﹣3) D. (1,﹣3)
15.已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上,则c等于( )
A. 4 B. 8 C. ﹣4 D. 16
16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式不正确的是( )
A. a<0 B. abc>0 C. a+b+c>0 D. b2﹣4ac>0
三、计算题(每4分,共16分)
17.用你熟悉的方法解方程:(x﹣3)2+2x(x﹣3)=0.
18.用配方法解方程:2x2+1=3x.
19.用两种方法解方程:x2﹣6x﹣7=0.
四、简答题(共38分)
20.已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根,求m的值及方程的根.
21.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本
(1)求每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润?利润是多少?
22.在体育测试时,初三的一名高个子男同学推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如图所示,如果这个男同学的出手处A点的坐标(0,2),铅球路线的处B点的坐标为(6,5).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01米, =3.873)
23.某校团委准备举办学生绘画展览,为了美化画面,在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸和画的面积和恰好是原画的面积的2倍,求彩纸的宽度.
2014-2015学年x疆巴州蒙古族高中九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(每空2分,共22分)
1.方程﹣3x2﹣2x=0的二次项系数是 ﹣3 ,常数项是 0 .
考点: 一元二次方程的一般形式.
分析: 根据一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项可得答案.
解答: 解:方程﹣3x2﹣2x=0的二次项系数是﹣3,常数项是0,
故答案为:﹣3;0.
点评: 此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键是掌握要确定一次项系数和常数项,首先要把方程化成一般形式.
2.已知关于x的一元二次方程4x2+(k+1)x+2=0的一个根是2,那么k= ﹣10 ,另一根是 .
考点: 一元二次方程的解;根与系数的关系.
分析: 可设出方程的另一个根,根据一元二次方程根与系数的关系,可得两根之积是﹣4,两根之和是﹣k,即可列出方程组,解方程组即可求出k值和方程的另一根.
解答: 解:设方程的两个根分别是x1、x2.
又∵x2=2
∴根据韦达定理,得
,
解得 ,
故答案为:﹣10, .
点评: 考查了一元二次方程的解,能够对方程进行适当的变形是解答本题的关键,难度不大.
3.若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 k≤9,且k≠0 .
考点: 根的判别式.
分析: 若一元二次方程有两实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac≥0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.还要注意二次项系数不为0.
解答: 解:∵方程有两个实数根,
∴△=b2﹣4ac=36﹣4k≥0,
即k≤9,且k≠0
点评: 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
4.二次函数y=﹣3x2+6x+9的图象的开口方向 向下 ,它与y轴的交点坐标是 (0,9) .
考点: 二次函数的性质.
分析: 根据a=﹣3可判断函数开口的方向;令x=0,可求y的值,即可求出与y轴的交点坐标.
解答: 解:∵a=﹣3<0,
∴图象开口向下;
把x=0代入函数解析式,得y=9.
∴函数与y轴的交点坐标是(0,9).
点评: 二次函数,当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下.求与y轴的交点,也就是让x=0求出y的值.
5.已知抛物线y=﹣2(x+1)2﹣3,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是 x>﹣1 .
考点: 二次函数的性质.
分析: 根据二次函数的图象开口方向及对称轴求解.
解答: 解:因为a=﹣2<0,抛物线开口向下,
又对称轴为直线x=﹣1,
所以当y随x的增大而减小时,x>﹣1.
点评: 主要考查了二次函数的单调性.
6.将抛物线y=x2向左平移4个单位后,再向下平移2个单位,则此时抛物线的解析式是 y=(x+4)2﹣2或y=x2+8x+14 .
考点: 二次函数图象与几何变换.
分析: 因为抛物线y=x2向左平移4个单位后,再向下平移2个单位,所以新抛物线的解析式为y=(x+4)2﹣2.
解答: 解:∵向左平移4个单位后,再向下平移2个单位.∴y=(x+4)2﹣2=x2+8x+14.故此时抛物线的解析式是y=(x+4)2﹣2=x2+8x+14.
点评: 主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.
7.当k 时,抛物线y=x2﹣3x+k的顶点在x轴上方.
考点: 二次函数的性质.
分析: 此题可先求出抛物线y=x2﹣3x+k的顶点坐标,又因顶点在x轴上方,所以只需令顶点纵坐标大于0即可.
解答: 解:将抛物线y=x2﹣3x+k变形,得:y=(x﹣ )2+k﹣ ,
又顶点在x轴上方,则需令k﹣ >0,解不等式得:k> ,
则当k> 时,抛物线y=x2﹣3x+k的顶点在x轴上方.
点评: 本题考查了二次函数的性质,将顶点坐标与不等式结合起来,有一定的综合性.
8.如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样的正方形,可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒,设剪去的正方形边长为xcm,则可列出关于x的方程为 (9﹣2x)•(5﹣2x)=12 .
考点: 由实际问题抽象出一元二次方程.
专题: 几何图形问题;压轴题.
分析: 由于剪去的正方形边长为xcm,那么长方体纸盒的底面的长为(9﹣2x),宽为(5﹣2x),然后根据底面积是12cm2即可列出方程.
解答: 解:设剪去的正方形边长为xcm,
依题意得(9﹣2x)•(5﹣2x)=12,
故填空答案:(9﹣2x)•(5﹣2x)=12.
点评: 此题首先要注意读懂题意,正确理解题意,然后才能利用题目的数量关系列出方程.
二、选择题(每空3分,共24分)
9.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根,则该三角形的周长为( )
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对
考点: 解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系.
分析: 易得方程的两根,那么根据三角形的三边关系,排除不合题意的边,进而求得三角形周长即可.
解答: 解:解方程x2﹣12x+35=0得:x=5或x=7.
当x=7时,3+4=7,不能组成三角形;
当x=5时,3+4>5,三边能够组成三角形.
∴该三角形的周长为3+4+5=12,故选B.
点评: 本题主要考查三角形三边关系,注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形.
10.设a是方程x2+x﹣2009=0的一个实数根,则a2+a﹣1的值为( )
A. 2006 B. 2007 C. 2008 D. 2009
考点: 一元二次方程的解;代数式求值.
分析: 根据一元二次方程的解的定义,将a代入已知方程,即可求得(a2+a)的值.
解答: 解:根据题意,得
a2+a﹣2009=0,
解得,a2+a=2009,
所以a2+a﹣1=2009﹣1=2008.
故选:C.
点评: 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
11.为了改善居民住房条件,我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2.若每年的年增长率相同,设年增长率为x,则可列方程为( )
A. 10(1+x)2=12.1 B. 10(1﹣x)2=12.1 C. 10(1+2x)2=12.1 D. 10(1﹣2x)2=12.1
考点: 由实际问题抽象出一元二次方程.
专题: 增长率问题.
分析: 如果设年增长率为x,则可以根据“住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2”作为相等关系得到方程10(1+x)2=12.1.
解答: 解:设每年的增长率为x,根据题意得10(1+x)2=12.1,
故选A.
点评: 本题考查数量平均变化率问题.原来的数量(价格)为a,平均每次增长或降低的百分率为x的话,经过第一次调整,就调整到a(1±x),再经过第二次调整就是a(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”,下降用“﹣”.
12.若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1+x2的值是( )
A. 1 B. 5 C. ﹣5 D. 6
考点: 根与系数的关系.
分析: 依据一元二次方程根与系数的关系可知,x1+x2=﹣ ,这里a=1,b=﹣5,据此即可求解.
解答: 解:依据一元二次方程根与系数得:x1+x2=5.
故选B.
点评: 本题考查了一元二次方程根与系数的关系.解答这类题学生常常因记不准确上面的根与系数的关系式而误选C.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x1+x2=﹣ ,x1•x2= .
13.方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是( )
A. 方程有两个不相等的实数根
B. 方程有两个相等的实数根
C. 方程没有实数根
D. 方程的根的情况与k的取值有关
考点: 根的判别式.
分析: 求出方程的判别式后,根据判别式与0的大小关系来判断根的情况.
解答: 解:∵方程的△=k2+4>0,
故方程有两个不相等的实数根.
故选A
点评: 总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
14.二次函数y=﹣(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标是( )
A. (﹣1,3) B. (1,3) C. (﹣1,﹣3) D. (1,﹣3)
考点: 二次函数的性质.
专题: 压轴题.
分析: 根据二次函数的顶点式一般形式的特点,可直接写出顶点坐标.
解答: 解:二次函数y=﹣(x﹣1)2+3为顶点式,其顶点坐标为(1,3).
故选B.
点评: 主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法.
15.已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上,则c等于( )
A. 4 B. 8 C. ﹣4 D. 16
考点: 待定系数法求二次函数解析式.
分析: 顶点在x轴上,所以顶点的纵坐标是0.据此作答.
解答: 解:根据题意,得 =0,
解得c=16.
故选D.
点评: 本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式,比较简单.
16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式不正确的是( )
A. a<0 B. abc>0 C. a+b+c>0 D. b2﹣4ac>0
考点: 二次函数图象与系数的关系.
分析: 由抛物线开口向下得到a<0,由抛物线与y轴交于正半轴知道c>0,而称轴在y轴左边,得到﹣ <0,所以b<0,abc>0,而抛物线与x轴有两个交点,得到b2﹣4ac>0,又当x=1时,y<0,由此得到a+b+c<0.
解答: 解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴c>0,
∵对称轴在y轴左边,﹣ <0,
∴b<0,abc>0,
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,
当x=1时,y<0,
∴a+b+c<0.
故选C.
点评: 本题主要考查二次函数的图象和性质问题.
三、计算题(每4分,共16分)
17.用你熟悉的方法解方程:(x﹣3)2+2x(x﹣3)=0.
考点: 解一元二次方程-因式分解法.
分析: 利用因式分解法即可将原方程变为3(x﹣3)(x﹣1)=0,继而可求得此方程的根.
解答: 解:∵(x﹣3)2+2x(x﹣3)=0,
∴(x﹣3)[(x﹣3)+2x]=0,
∴(x﹣3)(3x﹣3)=0,
∴3(x﹣3)(x﹣1)=0,
∴x﹣3=0或x﹣1=0,
解得:x1=3,x2=1.
点评: 此题考查了因式分解法解一元二次方程的知识.此题比较简单,解题的关键是提取公因式(x﹣3),将原方程化为3(x﹣3)(x﹣1)=0的形式求解.
18.用配方法解方程:2x2+1=3x.
考点: 解一元二次方程-配方法.
专题: 计算题.
分析: 首先把方程的二次项系数变成1,然后等式的两边同时加上一次项系数的一半,则方程的左边就是完全平方式,右边是常数的形式,再利用直接开平方的方法即可求解.
解答: 解:移项,得2x2﹣3x=﹣1,
二次项系数化为1,得 ,
配方 ,
,
由此可得 ,
∴x1=1, .
点评: 配方法是一种重要的数学方法,是中考的一个重要考点,我们应该熟练掌握.
本题考查用配方法解一元二次方程,应先移项,整理成一元二次方程的一般形式,即ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,然后再配方求解.
19.用两种方法解方程:x2﹣6x﹣7=0.
考点: 解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法.
分析: 先把等号的左边进行因式分解,求出x的值;
先找出一元二次方程中的a,b,c的值,再根据求根公式即可得出答案.
解答: 解:(1)x2﹣6x﹣7=0
(x﹣7)(x+1)=0,
x1=7,x2=﹣1;
(2)x2﹣6x﹣7=0
∵a=1,b=﹣6,c=﹣7,
∴x= = ,
∴x1=7,x2=﹣1.
点评: 本题考查了解一元一次方程,用到的知识点是因式分解和公式法解一元二次方程,掌握公式法解一元二次方程的步骤是本题的关键.
四、简答题(共38分)
20.已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根,求m的值及方程的根.
考点: 根的判别式.
分析: 首先根据原方程根的情况,利用根的判别式求出m的值,即可确定原一元二次方程,进而可求出方程的根.
解答: 解:∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=(﹣m)2﹣4×1×(m﹣1)=m2﹣4m+4=(m﹣2)2=0,
∴m=2,
∴关于x的一元二次方程是x2﹣2x+1=0,
∴(x﹣1)2=0,
解得x1=x2=1.
点评: 此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
21.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本
(1)求每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润?利润是多少?
考点: 二次函数的应用.
专题: 销售问题.
分析: (1)根据“利润=(售价﹣成本)×销售量”列出方程;
(2)把(1)中的二次函数解析式转化为顶点式方程,利用二次函数图象的性质进行解答.
解答: 解:(1)y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]
=(x﹣50)(﹣5x+550)
=﹣5x2+800x﹣27500
所以y=﹣5x2+800x﹣27500(50≤x≤100);
(2)y=﹣5x2+800x﹣27500
=﹣5(x﹣80)2+4500
∵a=﹣5<0,
∴抛物线开口向下.
∵50≤x≤100,对称轴是直线x=80,
∴当x=80时,y值=4500;
即销售单价为80元时,每天的销售利润,利润是4500元.
点评: 此题题考查二次函数的实际应用.为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
22.在体育测试时,初三的一名高个子男同学推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如图所示,如果这个男同学的出手处A点的坐标(0,2),铅球路线的处B点的坐标为(6,5).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01米, =3.873)
考点: 二次函数的应用.
分析: (1)由点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式,再将(0,2)代入即可求解.
(2)由(1)求得的函数解析式,令y=0,求得的x的正值即为铅球推出的距离.
解答: 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣h)2+k,
由于顶点坐标为(6,5),
∴y=a(x﹣6)2+5.
又A(0,2)在抛物线上,
∴2=62•a+5,
解得:a=﹣ .
∴二次函数的解析式为y=﹣ (x﹣6)2+5,
整理得:y=﹣ x2+x+2.
(2)当y=0时,﹣ x2+x+2=0.
x=6+2 ,x=6﹣2 (不合题意,舍去).
∴x=6+2 ≈13.75(米).
答:该同学把铅球抛出13.75米.
点评: 本题考查了二次函数在实际生活中的应用,重点是函数解析式的求法.
23.某校团委准备举办学生绘画展览,为了美化画面,在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸和画的面积和恰好是原画的面积的2倍,求彩纸的宽度.
考点: 一元二次方程的应用.
专题: 几何图形问题.
分析: 设彩纸的宽度为xcm,镶上彩纸过后的长为(30+2x)cm,宽为(20+2x)cm,根据彩纸和画的面积和恰好是原画的面积的2倍建立方程求出其解即可.
解答: 解:设彩纸的宽度为xcm,镶上彩纸过后的长为(30+2x)cm,宽为(20+2x)cm,由题意,得
(30+2x)(20+2x)=2×30×20,
解得:x1=﹣30(舍去),x2=5.
答:彩纸的宽度为5cm.
点评: 本题考查了矩形的面积公式的运用,列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据彩纸和画的面积和恰好是原画的面积的2倍建立方程是关键.
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