Question

高中数学统计与概率|高中数学统计与概率公式

Answer 1

统计与概率

一、选择题 1、（惠州市2014届高三第三次调研考）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图

如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）

A. 6万元 B．8万元 C．10万元

D．12万元

答案：C 2、（珠海市2014届高三上学期期末）学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50）（单位：元），其中支出在[10，30）（单位：元）的同学有33人，其频率分布直方图如右图所示，则支出在[40，50）（单位：元）的同学人数是（ ） A、100 B、120 C、30 D、300 答案：C 二、填空题 1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为

1

,则总体中的个9

体数为 答案：180 2、（广州市2014届高三1月调研测试）如图3，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y x图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点落在E中的概率为 答案：

2

1

3

3、（广东省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 答案：15

4、（揭阳市2014届高三学业水平考试）图（2）是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为

答案：

4 5

5、（中山市2014届高三上学期期末考试）如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向

区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答） 答案：

8

3

三、解答题 1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））

佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm)分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm)分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179. (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；

(Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm的人数为X,求X的分布列和数学期望.

【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. „„4分 （注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）

(Ⅱ)排球队中超过170cm的有4人,超过178cm的有3人, 篮球队中超过170cm的有5人,超过178cm的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）

所以X的所有可能取值为0,1,2则„„„„„„„„5分 （注：正确写出X的值1分）

11C1C3

P(X=0)=13=, 1

20C4C5

1111

C1C2+C3C311

P(X=1)==, 11

20C4C5

排球队 篮球队

图4

排球队 篮球队

3 2 18 1

9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8

8 15 9

11C3C6

P(X=2)=12=,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 1

C4C520

（注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）

所以X的分布列为

„„„„„„„„11分 所以X的数学期望EX=0⨯

311623

.„„„„„„„„„12分 +1⨯+2⨯=

20202020

3

2、（广州市2014届高三1月调研测试）

空气质量指数PM2.5 (单位:μg/m)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．

3 2 0 4

（2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良 5 5

6 4 的天数，求X的分布列及数学期望．

7 6 9 7

8 8 0 7

9 1 8 0 9

ks5u

解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或图5 良的天数为5天．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分

所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．„2分

（2）X的取值为0，1，2，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

02C5C103

=，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 因为P(X=0)=2

C1571

C1105C10

P(X=1)==，„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 2

C1521

（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；

20C5C102

P(X=2)==．„„„„„„„„„„„„„„9分 2

C1521

所以X的分布列为：

所以数学期望EX=0⨯+1⨯+2⨯=．

721213

„„„„10分

3、（增城市2014届高三上学期调研）

在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品.

（1）从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；

（2）从盒子里任取3枝，设ξ为取出的3枝里一等品的枝数，求ξ的分布列及数学期望.

C52

解.（1）P=3 2分

C6

5⨯4

1

== 4分 6⨯5⨯423⨯2⨯1

（2）ξ=0,1,2,3, 5分

311C3C3⨯C32C32⨯C3199

ξ===P(ξ=0) =3=，P(ξ=1) =，P(=0) ， 33

C620C620C620

3C31

P(ξ=0) =3=（各1分） 9分

C620

所以ξ的分布列是

ξ

P

0 1 2 3

1 209 209 201 20

10分 E(ξ)=0×

19913+1×+2×+3×= 12分 202020202

4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）

盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数-i,i,-2,2,其中i是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验

的结果互不影响）．

（1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件B “在四次试验中，至少

有两次得到虚数” 的概率；

（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为a,b，求随机变量ξ=a⋅b的分布列与数学

期望Eξ. 解：（1）P(A)=

21

=， ……………………………………………………………2分 42

⎡

P(B)=1-P()=1-⎢C4()()+C4()()⎥=1-=. ………… 5分

22221616⎣⎦（2）a,b,ξ的可能取值如下左表所示：

1

1

41

1

1

13⎤

511

ξ a

-i i 1 1 2 2

-2 2 2 4 4

2 2 2 4 4

-i i -2 2 1 1 2 2

……………………………………………………………6分

由表可知：P(ξ=1)=

418141

=,P(ξ=2)==,P(ξ=4)==. ………………9分 164162164

所以随机变量X的分布列为（如上右表） …………………………………… 10分 所以E(ξ)=1⨯

1119

+2⨯+4⨯=. ………………………………………………12分 4244

5、（惠州市2014届高三第三次调研考）

甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为

2221，乙队中3人答对的概率分别为,,，3332

且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． （1）求随机变量ξ的分布列和数学期望；

（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．

解：（1）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且 „„„„1分

12⎛2⎫2⎛2⎫1

P(ξ=0)=C30⨯ 1-⎪=，P(ξ=1)=C3⨯⨯ 1-⎪=，„„„„3分

3⎝3⎭9⎝3⎭27

2

3

32

8⎛2⎫⎛2⎫43⎛2⎫P(ξ=2)=C⨯ ⎪⨯ 1-⎪=，P(ξ=3)=C3⨯ ⎪=．„„„„5分

⎝3⎭⎝3⎭9⎝3⎭27

23

所以ξ的分布列为

ξ的数学期望为Eξ=0⨯

1248+1⨯+2⨯+3⨯=2．„„„„7分 279927

⎛

⎝2⎫3⎭

解法二：根据题设可知，ξ~B 3⎪，„„„„3分 因此ξ的分布列为

⎛2⎫⎛2⎫

P(ξ=k)=C3k⨯ ⎪⨯ 1-⎪

⎝3⎭⎝3⎭

k3-k

2k

=C⨯3k=01，，2，3．„„5分

3

k3

因为ξ~B 3⎪，所以Eξ=3⨯

⎛⎝2⎫3⎭

2

=2．„„„„7分 3

（2）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分

乙得0分”这一事件，所以AB=C D，且C，D互斥，又„„„„8分

⎛2⎫⎛2⎫⎡211121111⎤10

P(C)=C⨯ ⎪⨯ 1-⎪⨯⎢⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⎥=4，„10分

⎝3⎭⎝3⎭⎣332332332⎦3

23

2

⎛111⎫43⎛2⎫P(D)=C3⨯ ⎪⨯ ⨯⨯⎪=5，„„„„11分

⎝3⎭⎝332⎭3

由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=

12分

6、（揭阳市2014届高三学业水平考试）

根据空气质量指数AQI（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

3

1043434

．„„„+5=5=4

333243

某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数

进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:

（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中 度污染的概率；

（2）在上述30个监测数据中任取2个,设ξ为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求ξ的分布列.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, -------------1分

所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率

天数

1086420

61P==.---------------------4分

305

（2）随机变量ξ的可能取值为

0,1,2,-----------------------------------------------5分

空气质量级别

一级二级

三级四级五级六级

图（4）

2C2665

则P(ξ=0)=2=,-----------------------------------------------------------7分

C308711C4C26104

P(ξ=1)==,----------------------------------------------------------9分 2

C304352C42

P(ξ=2)=2=-------------------------------------------------------11分

C30145

所以ξ的分布列为:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 7、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）

2013年2月20日,针对房价过高,国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”).为此,记者对

某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查,随机抽取了60人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表):

(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入;

(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查,记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为：

（5分）

(20⨯0.015+30⨯0.015+40⨯0.025+50⨯0.02+60⨯0.01)⨯10=43.5（百元）

（Ⅱ）根据频率分布直方图可知道：

„„„„„„（7分）

„„（12分）

(每算对一个一分，正确给出x的取值1分，共5分

)

„„„„„„（14分）

（正确写出分布列1分，正确算出期望值1分）

8、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估） 一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：

（1） 根据表中数据，求英语分y对语文分x的线性回归方程；

（2） 要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以ξ表

示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.

+a 中，b=y=bx（附:线性回归方程

∑(x-)(y-)

i

i

i=1

n

∑(x-)

i

i=1

n

=- ,其中,为样本平,a

2

ˆ,aˆ的值的结果保留二位小数.） 均值，b

【解析】(1) =

87+90+91+92+95

=91, （1分）

5

86+89+8+99+294

==90 ,（2分）

5

∑(x-)

i

i=1

5

2

=(-4)2+(-1)2+02+1+42=34,

∑(x-)(y-)=(-4)⨯(-4)+(-1)⨯(-1)+0⨯(-1)+1⨯2+4⨯4=35,

i

i

i=1

5

=35≈1.03, aˆ=- x≈90-1.03⨯91= 3.73b

34y=1.03x-3.73 (6分) 故回归直线方程为

(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.

211

C2C2C221

P(ξ=0)=2=; （7分） P(ξ=1)==;（8分） 2

C46C432C21

P(ξ=2)=2=. （9分）

C46

故X的分布列为

∴Eξ=0⨯+1⨯+2⨯=1. （12分）

636

9、（中山市2014届高三上学期期末考试）

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．

（I）估计这次测试数学成绩的平均分；ks5u

（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：

45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分） 众数的估计值为75分

……………（5分）

所以，估计这次考试的平均分是72分．

……………（6分） （注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）

2

=15， （II）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C6

有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），

2

这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C4=6，

62

=. ……………（8分） 155

随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，则有．

两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P=

23

∴P(ξ=k)=C3k()k()3-k,k=0,1,2,3

55

∴变量ξ的分布列为：

…………（10分）

Eξ=0⨯

83654546+1⨯+2⨯+3⨯= [1**********]55

…………（12分）

2

解法二. 随机变量ξ满足独立重复试验,所以为二项分布, 即ξ~B(3,)………（10分）

5Eξ=np=3⨯

26

（珠海市2014届高三上学期期末） = …………（12分）11、

55

答案： 10、（珠海市2014届高三上学期期末）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。某试点城市环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如右下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）。

（1）在这15天的PM2.5日均监测数据中，求其中位数； （2）从这15天的数据中任取2天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数

据超标的天数，求ξ的分布列及数学期望；

（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年

（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级. 解：(1)由茎叶图可得中位数是45 (2) 依据条件，ξ服从超几何分布：

其中N=15,M=5,n=3，ξ的可能值为0,1,2

2-k

C5k⋅C10

由p(ξ=k)=， 2

C15

2

C50⋅C103

=得p(ξ=0)=， 2

C157

110C5⋅C10C52⋅C10102

， ， p(ξ=1)==p(ξ=2)==22

C1521C1521

所以ξ的分布

列为：

102= 153

3

∴Eξ=0⨯7(2)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为p=一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则η～B(360,)

2

3

2

∴Eη=360⨯=240

3

∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级

11、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）

平安汽车租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：

3600-3000

=12，

50

所以这时租出了88辆车.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

（2）设每辆车的月租金定为x元，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－x-3000）（x－150）－x-3000×50，„„8

50

50

分

1x2整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.

5050

所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050. „„„„„„„„„11

分

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.„12分 12、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）

某校有甲、乙两个研究性学习小组，两组的人数如下：

现采用分层抽样的方法，从甲、乙两组中共抽取3名同学进行展示交流。 （1）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；

（2）记X为抽取的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望。 解：（1）依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (5+7):(3+3)=2:1， „„„1分

所以，按照分层抽样的方法，从甲组抽取的学生人数为

2

⨯3=2；从乙组抽取的3

学生人数为⨯3=1． „„„2分 设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A， „„„3分

11C7⋅C535

= 则P(A)=， 2

C1266

13

故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为

35

． „„„„5分 66

（2）随机变量X的所有取值为0,1,2,3． „„„„6分

11111

C52⋅C3C7⋅C5⋅C3C52C3515

P(X=0)=21=,P(X=1)=+=,2121

C⋅C66C⋅CCC[1**********]

11111C7⋅C5⋅C3C72C3C72⋅C3147

P(X=2)=+=,P(X=3)==, „„„9212121

C⋅CCC33C⋅C[1**********]

分

所以，随机变量X的分布列为:

„„„„10分

数学期望E(X)=0⨯

5151475+1⨯+2⨯+3⨯=． „„„12分 664433443