Question

如果a÷b=6+ab均为非零自然数那么ab的最大公因数是最小公倍数是？

Answer 1

根据题意，有 a ÷ b = 6 + ab，即 a = (6+ab)b。
因为a与b的最大公因数（gcd）可以整除a和b，所以也可以整除a - (6+ab)b = -6b，所以gcd(a, b)必定是2或3.
考虑以上两种情况：
当gcd(a, b)=2时，由a=(6+ab)b得知6b必定是偶数，因此b必定是偶数。而由于gcd(a,b)=2，故a也是偶数，因此在a =(6+ab)b中b必定是奇数。这样就产生了矛盾。
因此，gcd(a, b)不能是2。
当gcd(a,b)=3时，由a=(6+ab)b得知6b必定能整除a（因为a和6b的gcd已经为3）。设a=3m, b=3n，则原来的式子变为3m = (2+3ab)3n。移项并化简可得ab = (m-2n)/3。
因为a和b均为自然数，所以m > 2n。另外，如果ab为自然数，那么(m-2n)必须能被3整除。因为m和n都是自然数，所以m-2n不能小于3，否则就不存在合适的自然数解。综上所述，m-2n 的最小值为32=6，对应的（m,n）解为（8,1）。
所以，a=3m = 24，b=3n = 3，ab = 72。
因此，ab的最大公因数为3，最小公倍数为72。

Answer 2

因为，a÷b=6+ab 中，a与b以及等式值均为非零自然数，
则a与b的最大公因数=b，最小公倍数=a