Question

卡方分布的基本性质是什么？

Answer 1

n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量

其分布规律称为卡方分布

X^2为自由度为n的卡方分布

那么EX^2=1,DX^2=2

而EX和EX^3实际上都是对x和x^3乘以偶函数

在对称区间上进行定积分，结果得到偶函数

于是代入上下限互为相反数的上下限，结果为0

而DX^2=EX^4-(EX^2)^2

所以得到EX^4=DX^2+(EX^2)^2=2+1=3

特点

平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。

函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。

95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。

99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。

99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。

函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。