Question

因式分解(x^2-3x-3)(x^2+3x+4)-8

(x^2-3x-3)(x^2+3x+4)-8能否进行因式分解？

Answer 1

该式在有理数系数的范围内无法分解
多项式f(x)可以分解因式的充要条件是方程f(x)=0有根
如果f(x)=0有根x=a，则f(x)一定可以分解成一个含有(x-a)因子的分解式
下面证明该多项式没有有理数根，从而在有理系数范围内无法分解因式
首先说一个结论，如果多项式f(x)=0有有理数根x=p/q，则p一定是f(x)的常数项的约数，q一定是f(x)的最高次项系数的约数
证明过程就不说了，举个例子说明一下即可
比方说(ax-b)(cx-d)(ex-f)=0展开之后得到acex^3+?x^2+?x-bdf
可以看出三个根b/a,e/c,f/e的分子b,d,f均是常数项的因子，分母a,c,e均是立方项系数的因子
好了准备工作完成
因为给出的题目最高次项系数为1,常数项为-12-8=-20
因此如果有有理根的话，只可能是正负1,2,4,5,10,20共12种可能
经验证可知
f(1)=48
f(2)=-78
f(4)=24
f(5)=300
f(10)=8790
f(20)=156360
f(-1)=-6
f(-2)=6
f(-4)=192
f(-5)=510
f(-10)=9390
f(-20)=157200
因此方程没有有理根，从而不可能在有理数范围内分解因式