Question

5.求曲线 y=1/x 在点(1,2)处的切线方程和法线方程(本题8分)

Answer 1

要求曲线 y = 1/x 在点 (1,2) 处的切线方程和法线方程，我们需要先求得该点处的导数。
首先，对曲线 y = 1/x 进行求导：
y = 1/x
对两边同时求导，使用导数的求导法则：
dy/dx = -1/x^2
接下来，我们将点 (1,2) 代入导数公式中，求得导数的值：
dy/dx = -1/(1^2)
dy/dx = -1
现在我们得到了点 (1,2) 处的导数为 -1。
根据切线的定义，切线的斜率等于曲线在该点处的导数。因此，切线的斜率为 -1。
接下来，我们可以使用点斜式来表示切线方程。已知切线通过点 (1,2) 且斜率为 -1，代入点斜式公式中：
y - y1 = m(x - x1)
y - 2 = -1(x - 1)
化简得到切线方程为：
y = -x + 3
现在，我们需要求得法线的斜率。根据垂直直线的性质，法线的斜率与切线的斜率互为相反数，即法线的斜率为 1。
再次使用点斜式，我们可以得到法线方程：
y - 2 = 1(x - 1)
化简得到法线方程为：
y = x + 1
因此，曲线 y = 1/x 在点 (1,2) 处的切线方程为 y = -x + 3，法线方程为 y = x + 1。