求limsinxy/y(x趋于2) lim(sinxy/y)当x 趋于2,y趋于1的值

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2023-06-30 · 知识,生活,旅行,工作,游戏, 漫迷。
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首先,我们计算 lim sin(xy)/y 当 x 趋于 2 时的极限。可以使用夹逼定理来求解。
因为 -1 ≤ sin(xy) ≤ 1,所以 -1/y ≤ sin(xy)/y ≤ 1/y。
由于当 x 趋近 2 时,y 不等于 0,且当 y 趋近 0 时,-1/y 和 1/y 都趋近于无穷大。根据夹逼定理,当 x 趋近 2 时,sin(xy)/y 的极限为 0。
因此,我们得到了 lim sin(xy)/y = 0 当 x 趋于 2 时的极限。
接下来,我们计算 lim(sin(xy/y)) 当 x 趋向 2, y 趋向 1 时的极限。这是一个复合函数求极限的问题,可以使用洛必达法则来解决。
令 f(x,y) = sin(xy/y),则有:
lim (sin(xy/y)) = lim f(x,y)
x->2, y->1 (x,y)->(2,1)
对于这个二元函数,我们需要对其在点 (2,1) 处进行求偏导数。通过对 f(x,y) 求 x 的偏导数和 y 的偏导数,我们可以得到:
∂f/∂x = y cos(xy/y)
∂f/∂y = (sin(xy/y) - xy cos(xy/y)/y^2)/y
因此,在点 (2,1) 处,∂f/∂x 为 cos(2), ∂f/∂y 为 (sin(2)-2cos(2))/2。
根据洛必达法则,我们可以得到:
lim f(x,y) = lim(sin(xy/y)) = lim(∂f/∂x)/(-∂f/∂y)
(x,y)->(2,1) (x,y)->(2,1)
因此,当 x 趋近 2,y 趋近 1 时,lim sin(xy/y) 的值为 -2cot(2)。
从记识W
2023-06-30
知道答主
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