Question

求一道高中数学题，步骤要详细，急用，谢谢

1椭圆的两个焦点为F1（-1，0），F2（1，0），｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项。∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积
（1）求椭圆方程
（2）若∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积

2.已知双曲线x^-y^/2=1，与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A,B两点，若P为AB中点。
（1）求直线AB的方程；
（2）若Q点坐标为（1，1），证明不存在以Q中点的弦。
第一题不对能把第一题的给分

Answer 1

1.(1)设椭圆方程X^2/a+Y^2/b=1 （a>b>0） 设半焦距为c
由已知得c=1
｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项
==>（推出） ｜F1F2｜=2c=2=｜PF1｜+｜PF2｜=2a (此处P应在椭圆上，不知是不是你忘打了)
==> a=2 由 c^2=a^2-b^2 ==> b^2=3
所以椭圆方程为 x^2/4+y^2/3=1

(2) 设｜F1P｜=x 则｜PF2｜=4-x
由余弦定理得 [2^2+x^2-（4-x）^2] / (2×2×x)=cos120°=-0.5
==> x=2
所以 面积S=0.5×｜F1F2｜×｜F1P｜×sin120°=根号3

2. （1）设直线AB方程 y-2=k(x-1)
由已知，k必存在
k=0时，显然不成立
k≠0时 将直线方程与双曲线方程联立，消y，得
(2-k^2)x^2-2k(2-k)x-(2-k)^2-2=0 （关于x的一元二次方程）
设A（x1,y1） B(x2,y2)
则 x1+x2=-[-2k(2-k)]/(2-k^2)
P为AB中点 所以 （x1+x2）/2=1 推出k=1
所以直线方程为 y=x+1

（2） 方法同（1），将k换成k’与（1）区分开
设过Q的直线y-1=k(x-1) 与双曲线联立，消y得
(2-k^2)x^2-2k(1-k)x-(1-k)^2-2=0 （为方便，我就不区分了）
Δ=[-2k(1-k)]^2-4×(2-k^2)×[-(1-k)^2-2]＞0
推出 k＜1.5
设直线与双曲线焦点为（x3,y3） B(x4,y4)
则 x3+x4=-[-2k(1-k)]/(2-k^2)
QP为AB中点 所以 （x3+x4）/2=1 推出k=2＞1.5 舍去
所以不存在这样的k，即不存在以Q中点的弦

累死我了~~~

Answer 2

1.(1)设椭圆方程X^2/a+Y^2/b=1 （a>b>0） 设半焦距为c
由已知得c=1
｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项
==>（推出） ｜F1F2｜=2c=2=｜PF1｜+｜PF2｜=2a (此处P应在椭圆上，不知是不是你忘打了)
==> a=2 由 c^2=a^2-b^2 ==> b^2=3
所以椭圆方程为 x^2/4+y^2/3=1

(2) 设｜F1P｜=x 则｜PF2｜=4-x
由余弦定理得 [2^2+x^2-（4-x）^2] / (2×2×x)=cos120°=-0.5
==> x=1.2
所以 面积S=0.5×｜F1F2｜×｜F1P｜×sin120°=3√3 / 5

2. （1）设直线AB方程 y-2=k(x-1)
由已知，k必存在
k=0时，显然不成立
k≠0时 将直线方程与双曲线方程联立，消y，得
(2-k^2)x^2-2k(2-k)x-(2-k)^2-2=0 （关于x的一元二次方程）
设A（x1,y1） B(x2,y2)
则 x1+x2=-[-2k(2-k)]/(2-k^2)
P为AB中点 所以 （x1+x2）/2=1 推出k=1
所以直线方程为 y=x+1

（2） 方法同（1），将k换成k’与（1）区分开
设过Q的直线y-1=k(x-1) 与双曲线联立，消y得
(2-k^2)x^2-2k(1-k)x-(1-k)^2-2=0 （为方便，我就不区分了）
Δ=[-2k(1-k)]^2-4×(2-k^2)×[-(1-k)^2-2]＞0
推出 k＜1.5
设直线与双曲线焦点为（x3,y3） B(x4,y4)
则 x3+x4=-[-2k(1-k)]/(2-k^2)
QP为AB中点 所以 （x3+x4）/2=1 推出k=2＞1.5 舍去
所以不存在这样的k，即不存在以Q中点的弦

Answer 3

1.x2/4+y2/3=1
2.F2F1P不可能是钝角，是说∠F1PF2是120°吧
S=b2*tan60°=3√3