Question

2.求下列空间曲线段的弧长:(1)x=3t, y=3t^2 , z=2t^3 ,从点O(0,0,0

Answer 1

要求空间曲线段的弧长，可以使用积分来计算。 对于曲线段的参数方程为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其中 t 的取值范围为 [a, b]，弧长可以表示为：
L = ∫[a， b] √[x'（t）^2 + y'（t）^2 + z'（t）^2] dt
根据给定的参数方程 x = 3t, y = 3t^2, z = 2t^3，我们需要计算出 x'(t), y'(t), z'(t)，然后代入上述公式计算弧长。
计算导数：
x'（t） = 3
y'（t） = 6t
z'（t） = 6t^2
代入弧长公式：
L = ∫[a， b] √[x'（t）^2 + y'（t）^2 + z'（t）^2] dt
= ∫[a， b] √[3^2 + （6t）^2 + （6t^2）^2] dt
= ∫[a， b] √[9 + 36t^2 + 36t^4] dt
接下来，根据参数 t 的取值范围确定积分的上下限 [a, b]，然后对上述表达式进行积分计算即可得到曲线段的弧长。
请注意，由于题目中给出的曲线段没有给定参数的取值范围，所以无法进行具体的计算。需要提供参数的取值范围或其他相关信息才能进行计算。