Question

三角形三个顶点距离之和为最小值

Answer 1

三角形的重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。这是三角形重心的一个性质，证明如下：

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x0，y0） 则该点到三顶点距离平方和为：

(x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(x2-x0)^2+(y2-y0)^2+(x3-x0)^2+(y3-y0)^2

=3x0^2-2x0(x1+x2+x3)+3y02-2y0(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2

=3[x0-1/3*(x1+x2+x3)]^2+3[y0-1/3*(y1+y2+y3)]^2+x12+x22+x32+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时

上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

最终得出结论，重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

扩展资料：

三角形重心的性质

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）