Question

如何求阴影部分面积

Answer 1

【分析】

图中形状不可直接求出，因此我们需要采用其他可求面积的形状互相加减，才能得出结果。

考察该图形后，我们可以采用如下方式划分区域：

那么，所求面积=斜线面积+网格面积-绿色面积

其中：斜线区域与绿色区域均为扇形，网格区域为三角形，均可以采用公式求得面积。

【作图】

将两圆心分别命名为O₁、O₂，两弧线右边端点分别命名为A、B，两弧线交点为C，连接O₁C、O₂C，得到如下图：

则有：

S阴影=S扇形O₂BC+SΔCO₁O₂-S扇形O₁AC……①

【注意】

到这一步，如果我们直接求两个扇形面积，则根据扇形面积公式，如下：

S=θr²/2（其中，θ为圆心角，r为半径）

但是，图中∠1和∠2只能求出三角函数值，欲求角度值必须用反三角函数，则结果中存在两个反三角函数，不够简洁。

考虑一下图形，其实我们还可以继续进行等量代换，以便消减反三角函数。

【继续作图】

过O₂做O₁C的平行线，交弧BC于D点，连接CD，得到下图：

从图中，我们容易求证或计算得出：

O₁C‖O₂D且O₁C=O₂D，∠AO₁C=∠BO₂D

即：扇形O₁AC=扇形O₂BD

则，原求阴影面积的①式可变成：

S阴影=S扇形O₂BC+SΔCO₁O₂-S扇形O₁AC

=S扇形O₂BC+SΔCO₁O₂-S扇形O₂BD……②

我们看看图，如上述算式②计算出来的面积是哪个面积呢？其实就是下图的阴影面积：

计算公式变成：

S阴影=S扇形O₂BC+SΔCO₁O₂-S扇形O₂BD

=SΔCO₁O₂+S扇形O₂CD……③

【计算】

设ΔCO₁O₂底边O₁O₂上的高为h，则有：

h²=O₁C²-(O₁O₂/2)²=4²-1²=15

SΔCO₁O₂=O₁O₂·h/2=2×√15/2=√15……④

∠CO₂D=2arcsin[(CD/2)/O₂C]=2arcsin[(2/2)/4]=2arcsin(1/4)

S扇形O₂CD=∠CO₂D·O₂C²/2=2arcsin(1/4)×2²÷2=4arcsin(1/4)……⑤

将④⑤代入③式，可得：

S阴影=SΔCO₁O₂+S扇形O₂CD=√15+4arcsin(1/4)……⑥

【附】

如果不进行第二部面积代换，直接按①式计算阴影面积，结果为：

S阴影=√15+2arccos(-1/4)-2arccos(1/4)……⑦

你可以自行比较一下⑥⑦两个答案，是否可以计算相等？