Question

怎样求泰勒级数在x=0处的展开式？

Answer 1

泰勒展开式是将一个函数表示为无限级数的形式，可以在某个点附近进行展开。对于函数f(x)，其在点x=a处的泰勒展开式可以表示为：
f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + (x-a)^2/2! f''(a) + (x-a)^3/3! f'''(a) + ...
对于函数f(x) = 1/(1+x)，我们可以利用泰勒展开式，在点x=0处展开。首先求取f(x)在x=0处的导数以及各阶导数，然后代入到泰勒展开式中，得到展开式的形式。
f(0) = 1/(1+0) = 1
f'(x) = -1/(1+x)^2，f'(0) = -1
f''(x) = 2/(1+x)^3，f''(0) = 2
f'''(x) = -6/(1+x)^4，f'''(0) = -6
将这些导数值代入泰勒展开式：
f(x) = f(0) + (x-0)f'(0) + (x-0)^2/2! f''(0) + (x-0)^3/3! f'''(0) + ...
= 1 + (-1)x + (1/2)x^2 + (-1/6)x^3 + ...
因此，f(x) = 1/(1+x)在x=0处的泰勒展开式为：
1 + (-1)x + (1/2)x^2 + (-1/6)x^3 + ...
这个展开式是无限级数，可以在x值接近0的范围内，通过有限的项数来逼近原函数的值