Question

线性代数证明题，书上的方法是错的

设向量组B:b1,b2,...,br能由向量组A:a1,a2,...,as线性表示为
(b1,b2,...,b4)' = K (a1,a2,...,as)'
其中K为r*s矩阵，且A组线性无关。那么若K的秩R(K)=r，则B组线性无关。

书上的方法为：

设A组的向量的维数为n，易知B组的向量的维数也为n。
由于R(K)=r，则s>=r，且K经过有限次初等列变换可以化为列最简形[E O]，其中E为r*r单位阵，O为r*(s-r)矩阵。
所以存在s*s可逆矩阵C，使 KC = [E O] 为K的列最简形。
于是由 (b1,b2,...,b4)' = K (a1,a2,...,as)' 得：
(b1,b2,...,br,0,...,0) C = (a1,a2,...,as) K C = (a1,a2,...,as) [E O] = (a1,a2,...,ar,0,...,0)
其中 (b1,b2,...,br,0,...,0) 和 (a1,a2,...,ar,0,...,0) 是n*s矩阵。
故 E (b1,b2,...,br,0,...,0) C = (a1,a2,...,ar,0,...,0)
即存在可逆方阵E和C使上式成立，故
(b1,b2,...,br,0,...,0)～(a1,a2,...,ar,0,...,0)
故 R(b1,b2,...,br,0,...,0) = R(a1,a2,...,ar,0,...,0)
又 (a1,a2,...,as) 线性无关，故 (a1,a2,...,ar) 线性无关，R(a1,a2,...,ar,0,...,0) = r
故 R(b1,b2,...,br,0,...,0) = r，即B组线性无关。
得证。

上面的证明方法的问题是：

由 (b1,b2,...,b4)' = K (a1,a2,...,as)' 无法得出 (b1,b2,...,br) = (a1,a2,...,as) K，只能得出 (b1,b2,...,br) = (a1,a2,...,as) K'。
而对于K'不存在C使 K'C = [E O] 为K的列最简形，只存在D使 DK' = [E O]' 为K'的行最简形。
代入式中就是：
(b1,b2,...,br) = (a1,a2,...,as) D^-1 [E O]'
无法在等式两边同乘以D而使右边化简。

请问该如何证明。
上面的出现的 (b1,b2,...,b4) 是 (b1,b2,...,br) 的笔误。

To xiaoliyuan333:
K'是s*r矩阵，s>=r，即是一个行数大于列数的矩阵。这种矩阵经过有限次初等列变换不一定能变成 [E O]' 的形式吧？因为列最简形的定义是“非零列向量的第一个非零元素为1，且含有这些非零元素的行的其他元素都为0”，即只能保证K'*C所得的s*r矩阵的前r行为E，下面不一定是O，即只能得到 [E X]' 形式。

To jeanloveglm:
矩阵乘法秩的不等式特性为 R(AB) <= min{R(A),R(B)}
所以 R(B)<=min(R(A),R(K))=min(s,r)=r，你弄反了。

Answer 1

这么说就清楚了：
不妨设K的最左边r子式非0，令M是一个(s-r)*s的矩阵，
M = ( 0, I )， 其中I是s-r阶单位阵。将M附加在K下面，
得到一个s*s矩阵C. 将a(r+1)，...,a(s)附加在b1,...,br下面，就得到
(b1, ..., br, a(r+1), ..., a(s))' = C(a1, ..., as)'
显然C可逆，除到左边，就得到a1,...,as可以被左边s个向量线性表出，
而a1,...,as不相关，左边s必须不相关，从而r个也必须不相关。

Answer 2

两位：
书上的证明太麻烦了。

证明：设A，B都是n维向量组成的。
1. 矩阵的秩不大于它的最小的矩阵维数我们有R(K)=min(s,r)=r，所以肯定有s>=r。
因为KA'=B'有解，解向量的个数=R(A')=R(A)=s，然后根据矩阵乘法秩的不等式特性R(B)>=min(R(A),R(K))=min(s,r)=r
2. 又因为B是r维矩阵，所以R(B)<=r

综合1,2可知R(B)=r.

Answer 3

书上的证明有个笔误，即“(b1,b2,...,br,0,...,0) C = (a1,a2,...,as) K C = (a1,a2,...,as) [E O] = (a1,a2,...,ar,0,...,0)” 和“使 KC = [E O] 为K的列最简形。”中的K都应是其转置K'.只需注意R(K)=r=R(K')，所以K'也可经过有限次初等列变换可以化为列最简形[E O]，其中E为r*r单位阵。后面你应该会了。