Question

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,CA平分∠BCD,DE//AC,交BC的延长线于点E,∠B=2∠E

2．如图在梯形ABCD中，AD//BC，CA平分∠BCD，DE//AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．

(1)求证：AB=DC；

(2)若tanB=2，AB=根号5 ,求边BC的长．
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Answer 1

DE//AC，则∠E=∠ACB
AC平分∠BCD，则∠ACD=∠ACB=∠E
∠B=2∠E，则∠B=∠ACD+∠ACB=∠BCD
所以这是个等腰梯形
所以AV=DC

从A点做高AH垂直BC于点H，DL垂直BC于点L，则DL=AH，AD=HL
tanB=2，AH=2BH
又由勾股定理得AH的平方+BH的平方=AB的平方
解得BH=1.AH=2
CL=DL/tan∠DCB=DL/∠B=1
又AD//BC，则∠DAC=∠BAC，
又因为∠BCA=∠DCA，则∠DAC=∠DCA
三角形DAC为等腰三角形，AD=DC=AB=根号5
BC=BH+HL+LC=2+根号5

Answer 2

∵CA平分∠BCD
∴∠BCA=∠ACD
∵DE//AC
∴∠BCA=∠E
即∠BCA=∠E=∠ACD
∴∠DCB=2∠E
∵∠B=2∠E
∴∠DCB=∠B
∴AB=DC(等角对等边）
（2）解析：
过D作BE垂线交BE于G
∵AD//BC
∴∠DAC=∠BCA
∵∠BCA=∠ACD
∴∠DAC=∠ACD
∴AD=DC
∵AB=DC(由结论1可知）
∴AD=AB=根号5
∵AF:BF=2
即AF=2BF
∵AF垂直于BF
∴BF平方+AF平方=AB平方
即BF=1，AF=2
∵CG=BF(由等腰梯形可知）
∴BC=2BF=FG=2+根号5