Question

高中奥赛a,b,c>0.abc=1,证(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<=1

求救啊

Answer 1

由题设知a,b,c中有两个不小于1，另一个不大于1；或者有两个不大于1，另一个不小于1。此时，在
a-1+1/b,b-1+1/c,c-1+1/a中至多有一个负值。
当a-1+1/b,b-1+1/c,c-1+1/a中有一个负值时，三者的乘积小于0，肯定不是最大的情形，故只考虑三者均为正的情形。
∵abc=1
∴a-1+1/b=a-1+ac=a(1-1/a+c)
同理 b-1+1/c=b(1-1/b+a)
c-1+1/a=c(1-1/c+b).
由均值不等式，得(a-1+1/b)(c-1+1/a)=a(1-1/a+c)(c-1+1/a)
≤a{[(1-1/a+c)+(c-1+1/a)]/2}²=ac².
同理(a-1+1/b)(b-1+1/c)≤ba²,
(b-1+1/c)(c-1+1/a)≤cb².
将上面三式两边相乘，得
(a-1+1/b)²(b-1+1/c)²(c-1+1/a)²≤1.
仅当a=b=c=1时，(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)有最大值1。

Answer 2

射a=x/y,b=y/z,c=z/x,其中x,y,z都为正实数
即证
(x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)<=xyz
(i)在(x+y-z),(x+z-y),(z+y-x)中若有一个<=0则其余两个必大于等于0则其积<=0<=xyz
(ii)在(x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)全>0
则有
(x+y-z)(x+z-y)<=(x+y-z+x+z-y)^2/4
(即ab<=(a+b)^2/4)
可得(x+y-z)(x+z-y)<=x^2
同理还有两式
(x+y-z)(y+z-x)<=y^2
(y+z-x)(z+x-y)<=z^2
这三是相乘
[(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)]^2<=(xyz)^2
且(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)>0 xyz>0
则可得(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)<=xyz