Question

问高数例题（同济6版214页例二）有理函数的积分。

问高数例题（同济6版214页例二）有理函数的积分。
问：
在运算到215页“于是”处的式子，第二行到第三行的过程中，第一部分（2/2x-1）积出来不应该是:2ln|2x-1|么,为啥前面的2不见了,是到哪里去了?然后后面那一部分又是用的什么方法,把1/2提到积分号外面来了,把分子变成了(2x+1)-1?
多年不看数学实在苦手,求教

Answer 1

其实都是凑微分法的应用吧，书上说的第一类积分法。。应该是这么叫的。。
第一个问题。。我粗略表示一下。。
∫(2/(2x-1))dx=∫(1/(2x-1))d(2x){注意}=∫(1/(2x-1))d(2x-1)=ln|2x-1|+C
第二个问题。。
∫(x/(x^2+x+1))dx=∫(0.5*2x/(x^2+x+1))dx
=∫(0.5*(2x+1-1)/(x^2+x+1))dx
=0.5∫((2x+1)-1)/(x^2+x+1))dx
0.5可以提出来是根据P190的性质二。。
设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
证明就是，对等式两边求导，自然得到导数相等
这样做的目的是将分子分成两个部分，一个是2x+1,一个是-1，
因为(2x+1)dx=d(x^2+x)=d(x^2+x+1)
可以运用公式∫(1/x)dx=ln|x|+C
且另一半将-1提出来后分子可以变成1，就可以通过将分母配方为(x+1/2)^2+3/4并运用关于arctanα的积分公式进行积分。

Answer 2

我手边有一本同济三版的，与你的不配套，把题发上来