Question

一道物理相对论的证明题

从地球上发出一静质量为M0的火箭，当达到高速v时，突然沿运动方向从中间分裂为相等的两部分（各有静质量为m0），从尾部向后射出的半截火箭恰好对地球为静止，则前半截经此反冲加速后的前向速度（对地面）为v~，是证明：
（1）m0=（M0/2）*根号（1-v^2/c^2）,v~=2v/(1+v^2/c^2)
(2)若v=0.6c，计算m0和v~
（提示：通过求解相对论能量守恒和动量守恒两个联立方程可得结果，为简单起见，B=v/c,B~=v~/c,先求出B~）

Answer 1

(1) 以地面为参照系，静质量为M0的火箭达到高速v时，能量为 E=M0c^2/√(1-v^2/c^2)，动量为 P=M0v/√(1-v^2/c^2)；
分裂后前半截的能量为 E1=m0c^2/√(1-v~^2/c^2)，动量为 P1=m0v~/√(1-v~^2/c^2)；
后半截能量为 E2=m0c^2，动量为 P2=0；
根据能量守恒得：M0c^2/√(1-v^2/c^2)=m0c^2/√(1-v~^2/c^2)+m0c^2 -----------①
根据动量守恒得：M0v/√(1-v^2/c^2)=m0v~/√(1-v~^2/c^2)+0 ------------②
①式除以②式得：c^2/v=c^2/v~*(1+√(1-v~^2/c^2))
两边相消并移项得：v~/v-1=√(1-v~^2/c^2)
两边平方得：(v~/v)^2+1-2v~/v=1-v~^2/c^2
即：v~^2-2vv~=-v~^2*(v^2/c^2)
化简得：(1+v^2/c^2)v~^2=2vv~
于是得：
v~=2v/(1+v^2/c^2)

所以 v~/v-1=√(1-v~^2/c^2)=2/(1+v^2/c^2)-1=(1-v^2/c^2)/(1+v^2/c^2)
代入①式或②式得：
m0=(M0/2)√(1-v^2/c^2)

(2) v=0.6c，则
m0=(M0/2)√(1-v^2/c^2)=(M0/2)√(1-0.6^2)=M0/1.6=5M0/8=0.625M0
v~=2v/(1+v^2/c^2)=2*0.6c/(1+0.6^2)=15c/17≈0.882c