Question

正方形abcd中，ab=2,p是边bc上的任意一点，e是边bc延长线上一点，连接ap，过点p做

PF⊥AP，与角DCE的平分线CF相交于点F，联结AF，与边CD相交于点G，联结PG,1求证AP=FP 2当BP取何值时，PG‖CF

Answer 1

（1）证明：在边AB上截取线段AH，使AH=PC，连接PH，
由正方形ABCD，得∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=AD，
∵∠APF=90°，
∴∠APF=∠B，
∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APF+∠FPC，
∴∠PAH=∠FPC；
又∵∠BCD=∠DCE=90°，CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°，
∴∠PCF=135°；
又∵AB=BC，AH=PC，
∴BH=BP，即得∠BPH=∠BHP=45°，
∴∠AHP=135°，即得∠AHP=∠PCF；
在△AHP和△PCF中，∠PAH=∠FPC，AH=PC，∠AHP=∠PCF，
∴△AHP≌△PCF，
∴AP=PF．
（2）如图，过F作MN平行于CD，交CE、AD的延长线于点M、N，得到矩形CMND，

由（1）知AP=PF，
在△ABP和△PMF中，
∠B=∠PMF=90°，∠FPM=∠BAP，AP=PF，
所以△ABP≌△PMF(AAS)，
所以FM=BP=x，所以NF=MN-MF=2-x，
因为∠FCM=45°，所以∠CFM=45°，所以CM=MF=x，所以AN=BM=BC+CM=2+x，
因为CD//MN，根据平行线段成比例，所以DG/NF=AD/DN，即DG/(2-x)=2/(2+x)，所以DG=2(2-x）/（2+x），
即y=2(2-x）/（2+x）；
（3）改变。
过FM⊥CE，垂足为点M，设PM=m，由BC=2，BP=x，所以CP=x-2，CM=CP+PM=m+x-2，
因为∠FCE=45°，所以∠CFM=45°，所以MF=CM=m+x-2，
因为AP⊥PF，所以∠BPA+∠FPM=90°，因为∠BPA+∠BAP=90°，所以∠BAP=∠FPM，
因为∠B=∠FMP=90°，所以△BAP∽△MPF，所以根据对应边成比例AB:BP=PM:MF，即2：x=m：（m+x-2），
解得m=2，所以FM=x，同理可根据（2）构成矩形ABMN，求出DG=2（x-2）/（2+x）【注：此时点G在CD的延长线上】

Answer 2

点f和g从何而来，问题不全