Question

什么是共轭？

最近在看线性代数，里面提到一种共轭矩阵，能给解释下共轭及共轭矩阵，并给举个例子么？多谢了！例子可以做成图片传上来。

Answer 1

共轭矩阵又称Hermite阵。Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是 ai,j=a*j,i。
对于
<math>A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n} </math>
有：
<math>a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}</math>，其中<math>\overline{(\cdot)}</math>为共轭算符。
记做：
<math> A = A^H \quad </math>
例如：
<math>\begin{bmatrix}
3&2+i\\ 2-i&1 \end{bmatrix}</math>
就是一个Hermite阵。
显然，Hermite阵主对角线上的元素必须是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是Hermite阵。也就是说，实对称阵是Hermite阵的特例。
[编辑本段]性质
若A 和B 是Hermite阵，那么它们的和A+B 也是Hermite阵；而只有在A 和B满足交换性（即AB = BA）时，它们的积才是Hermite阵。
可逆的Hermite阵A 的逆矩阵A-1仍然是Hermite阵。
如果A是Hermite阵，对于正整数n，An是Hermite阵.
方阵C 与其共轭转置的和<math>C + C^*</math>是Hermite阵.
方阵C 与其共轭转置的差<math>C - C^*</math>是skew-Hermite阵。
任意方阵C 都可以用一个Hermite阵A 与一个skew-Hermite阵B的和表示:
<math>C = A+B \quad\mbox{with}\quad A = \frac{1}{2}(C + C^*) \quad\mbox{and}\quad B = \frac{1}{2}(C - C^*).</math>
Hermite阵是正规阵，因此Hermite阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着Hermite阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。
n阶Hermite方阵的元素构成维数为n2的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。
如果Hermite阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定阵。
[编辑本段]Hermite序列
Hermite序列（抑或Hermite向量）指满足下列条件的序列ak（其中k = 0, 1, …, n）：
<math> \Im(a_0) = 0 \quad \mbox{and} \quad a_k = \overline{a_{n-k}} \quad \mbox{for } k=1,2,\dots,n. </math>
若n 是偶数，则an/2是实数。
实数序列的离散傅里叶变换是Hermite序列。反之，一个Hermite序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

Answer 2

当一个矩阵里的元素是复数时，如果存在一个矩阵中的每个元素都是原矩阵对应元素的共轭，这两个矩阵互为共轭矩阵

所谓共轭是指，任何复数都可以表示成a+bi的形式，其中a、b为实数，i是-1的平方根
对于复数c1=a+bi,它的共轭就是c2=a-bi,你可以看到任何一对共轭复数相乘，结果都是实数（c1*c2=a^2+b^2）