Question

关于真分式变形为部分分式和的问题

Q(x)=(x-x1(x-x2)----(x-xn)则，
r(x)/Q(x)=A1(x-x1)+A2/(x-x2)----+An/x-xn)
其中，怎样用待定系数法求Ai(i=1,2,3,4,----)

Answer 1

一种简单的问题就是x1,x2,...,xn互不相等
那么r(x)*(x-xk)/Q(x)在x=xk时的值就是Ak
其中k=1,2,...,n

如果存在某两个或者某几个xk相等的情况,比如x1=x2=u
那么部分分式分解结果应该是A1/(x-u)+A2/(x-u)^2
对应的A1=(r(x)*(x-u)^2/Q(x))'在x=u处的值('表示求导)
对应的A2=r(x)*(x-u)^2/Q(x)在x=u处的值

一般的,如果有分母(x-u)^n,那么部分分式分解的结果为
A1/(x-u)+A2/(x-u)^2+...+An/(x-u)^n
其中Ak=(r(x)*(x-u)^n/Q(x))^((n-k)')在x=u处的值(^((n-k)')表示求n-k次导)
k=1,2,...,n

而可见如果极点各不相同,那么Ak的表达式很简单
Ak=r(x)*(x-xk)/Q(x)|x=xk
k=1,2,...,n