Question

SOS！急解！ 高中数学 均值不等式问题！！！非常感谢！thanks！！

1.已知不等式(x+y)[(1/x)+(a/y)]≥9对任意正实数x,y恒成立，求正实数a的最小值.（请写出详细解答过程）

2.若lgx+lgy=1，求(5/x)+(2/y)的最小值.（请写出详细解答过程）

Answer 1

1.(x+y)[(1/x)+(a/y)]=1+a+(ax/y)+(y/x)≥1+a+2sqr[(ax/y)(y/x)]=1+a+2sqr(a)=sq[1+sqr(a)]
由于a、x、y均为正数，所以当且仅当ax/y=y/x，即y=xsqr(a)时等号成立
也就是说(x+y)[(1/x)+(a/y)]有最小值为sq[1+sqr(a)]，要使不等式恒成立则sq[1+sqr(a)]≥9即1+sqr(a)≥3,所以a≥4 此时y=2x
2.由lgx+lgy=1可知x>0,y>0且xy=10即x=10/y
所以（5/x)+(2/y)=(y/2)+(2/y)≥2当且仅当y/2=2/y时等号成立，即y=2时(5/x)+(2/y)有最小值为2

这种问题是比较基本的，这位同学还得努力啊

Answer 2

解：（1)原不等式去括号后可化为：（1+a)+[(ax/y)+(y/x)]≥(1+a)+2√a.等号仅当y=x√a时取得。由题设应有：（1+a)+2√a≥9.(a>0)===>a≥4.===>(a)min=4.(2)lgx+lgy=1.===>xy=10.故：(5/x)+(2/y)=(5y+2x)/xy=(2x+5y)/10≥[2√(2x*5y)]/10=[2√(10XY)]/10=2.故[(5/x)+(2/y)]min=2.