Question

如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是平行四边形ABCD外一点,且AE垂

如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是平行四边形ABCD外一点,且AE垂直CE，BE垂直DE，求证四边形ABCD是矩形
及

Answer 1

证明：

如图，

定律：平行四边形的对角线互相平分。

以AC为直径、点O为圆心作圆，则点A、C位于圆上，同时点E也在圆上，因为AE垂直CE（圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形，圆外或圆内的任何一点都不可能形成直角E）

以BD为直径、点O为圆心作圆，则点B、D位于圆上，同时点E也在圆上，因为BE垂直DE（圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形，圆外或圆内的任何一点都不可能形成直角E）

因为2个圆都是以点O为圆心，

（1）若AC＝BD，则满足已知条件，说明2个圆的大小与位置完全一样、可以认定是同一个圆，则四边形的四个顶点都在同一圆上，则四个角都是直角（圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形）

或直接证明为：对角线相等的平行四边形是矩形。

（2）若AC不等于BD，但2个圆又是同心的，则2个圆不可能有交点、即点E的存在，不满足已知条件。

Answer 2

不同意楼上的做法。
连结EO
因为平行四边形对角线互相平分
所以可以从图中发现RT△EAC和RT△EBD斜边中点直角点的连线都是EO
所以AC=BD
所以是矩形
没有时间不太详细啊

Answer 3

支持三楼的做法，只要连接OE。

∵角AEO=90°OE是AC的中线

∴EO=1/2AC

同理EO=1/2BD

∴AC=BD

∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）

Answer 4

证明：
如图，
定律：平行四边形的对角线互相平分。
以AC为直径、点O为圆心作圆，则点A、C位于圆上，同时点E也在圆上，因为AE垂直CE（圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形，圆外或圆内的任何一点都不可能形成直角E）
以BD为直径、点O为圆心作圆，则点B、D位于圆上，同时点E也在圆上，因为BE垂直DE（圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形，圆外或圆内的任何一点都不可能形成直角E）