Question

急啊急！概率论数理统计问题

已知总体X的概率分布如右图 X 1 2 3
P p 2p 1-3p
其中p>0表示未知参数，先从此总体中抽取一些样本量为n的简单随机样本，其中1出现了n1次，2出现了n2次，3出现了n3次。
定义矩估计p1=n1/n p2=n2/(2*n) p3=1/(3*(1-n3/n)
如何验证他们的无偏性并确定何者的方差最小！
我为了这题晕了……希望高手帮忙……急急！！
再说明下统计量是什么好不？我不是很明白为什么用X1/n算 而不用n1/n呢？？告诉我一下，在线等……

Answer 1

简单写一下：
记录从总体中抽取样本量为n的简单随机样本时候1出现的次数为变量X1，2出现的次数为变量X2，3出现的次数为变量X3，那么用来估计p的统计量就是
X1/n, X2/(2n), 1/3*(1-X3/n)。
易知X1满足参数为n,p的二项分布，即X1~b(n,p)，所以EX1=np, DX1=np(1-p)，
故 E(X1/n)=E(X1)/n=np/n=p，所以X1/n是p的无偏估计，且
D(X1/n)=D(X1)/n^2= np(1-p)/n^2=p(1-p)/n。
类似易知X2满足参数为n,2p的二项分布，即X2~b(n,2p)，所以EX1=2np, DX1=n*(2p)(1-2p)=2np(1-2p)，故 E(X2/(2n))=E(X2)/(2n)=(2np)/(2n)=p，所以X2/(2n)也是p的无偏估计，且
D(X2/(2n))=D(X2)/(2n)^2= 2np(1-2p)/(4n^2)=p(1-2p)/(2n)。
接着类似可知X3满足参数为n,1-3p的二项分布，即X3~b(n,1-3p)，
所以EX3=n(1-3p), DX3=n*(1-3p)(3p)=3np(1-3p)，故
E(1/3*(1-X3/n))=E(1-X3/n) / 3=(1-n(1-3p)/n) /3 = (3p)/3=p，
所以1/3*(1-X3/n)也是p的无偏估计，且
D(1/3*(1-X3/n))=D(X3/(3n))=D(X3)/(3n)^2= 3np(1-3p)/(9n^2)=p(1-3p)/(3n)。

比较三者的方差：
D(1/3*(1-X3/n)) = p(1-3p)/(3n) < p(1-3p)/(2n) < p(1-2p)/(2n)
= D(X2/(2n)) < p(1-2p)/n < p(1-p)/n = D(X1/n)
因此D(1/3*(1-X3/n))的方差最小，使用1/(3*(1-n3/n)进行估计最为有效。