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第七章 实数的完备性
目的与要求：使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；明确六个基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题．了解数列上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系.
重点与难点：重点是实数完备性基本定理的证明，难点是实数完备性基本定理的应用.
第一节 关于实数集完备性的基本定理
一 区间套定理与柯西收敛准则
1 区间套
定义1 区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件
（1） 对 , 有 , 即 , 亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中；
（2） . 即当 时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .
区间套还可表达为:
， .
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减.
例如 和 都是区间套. 但 、
和 都不是.
2 区间套定理
定理7.1(区间套定理) 设 是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点.
证明 （用单调有界定理证明区间套定理）
由假设（1）知，序列 单调上升，有上界 ；序列 单调下降，有下界 .因而有
， . .
再由假设（2）知
，
记 . 从而有
.
若还有 满足 ，令 ，得 .故 是一切 的唯一公共点.证毕.
注： 这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：
（1）要求 是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的，则定理不一定成立.如
.
显然有 ， 但 .
如果开区间套是严格包含： ，这时定理的结论还是成立的.
（2） 若 ，但 ，此时仍有 ， ，但 ，于是对任意的 ， ，都有 .
全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，该定理刻划实数集是完备的.该定理也给出通过逐步缩小搜索范围，找出所求点的一种方法.
推论 设 为一区间套， ．
则 当 时，恒有 ．
用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．
3 数列的柯西收敛准则的证明
数列的柯西收敛准则：
数列 收敛的充要条件是： ， ，当 时,有 ．
（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
证明 必要性
设 ．由数列极限定义， ， ，当 时有
， ，
因而 ．
充分性 按假设， ， ，使得对一切 有 ，
即在区间 内含有 中除有限项外的所有项．
据此，令 ，则 ，在区间 内含有 中除有限项外的所有项．记这个区间为 ．
再令 ，则 ，在区间 内含有 中除有限项外的所有项．记
，它也含有 中除有限项外的所有项，
且满足 及 ．
继续依次令 ，照以上方法得一闭区间列 ，其中每一个区间都含有 中除有限项外的所有项，且满足 ， ，
即 是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数 （ ）．
现在证明数 就是数列 的极限．事实上，由区间套定理的推论，
当 时，恒有 ．
因此在 内含有 中除有限项外的所有项，这就证得 ．
二 聚点定理与有限覆盖定理
1 聚点
定义2 设 是无穷点集. 若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无穷多个点, 则称点 为 的一个聚点.
数集 有唯一聚点 , 但 ；
开区间 的全体聚点之集是闭区间 ；
设 是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚点集是闭区间 .
2 聚点概念的另两个等价定义
定义 对于点集 ，若点 的任何 邻域内都含有 中异于 的点，即
，则称点 为 的一个聚点.
定义 若存在各项互异的收敛数列 ，则其极限 称为 的一个聚点.
3 以上三个定义互相等价的证明：
证：定义2 定义 显然成立．
定义 定义 由定义 ，取 ， ；
再取 则 ，且显然 ；
……
一般取 则 ，且显然 与 互异；
……
无限地重复以上步骤，得到 中各项互异的数列 ，
且由 ，易见 ．
定义 定义2 ， ，当 时，必有
，且因 各项互不相同，故 内含有 中无限多个点．[证毕]
4 聚点定理
定理 7.2 (魏尔斯特拉斯聚点定理 Weierstrass ) 直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 ，即在 的任意小邻域内都含有 中无限多个点（ 本身可以属于 ，也可以不属于 ）．
证 因为 为有界无限点集,故存在 ,使得 ,记 ．
现将 等分为两个子区间．因为 为有界无限点集，故两个子区间中至少有一个含有 中无穷多个点，记此区间为 ，则 ，且
．
再将 等分为两个子区间．则两个子区间中至少有一个含有 中无穷多个点，记此区间为 ，则 ，且
．
将此等分区间的手续无限地进行下去，得到一个闭区间列 ，它满足
， ，
即 是区间套，且每一个闭区间中都含有 中无穷多个点．
由区间套定理，存在唯一的一个数 （ ）．
于是由区间套定理的推论， 当 时，恒有 ．
从而 内含有 中无穷多个点，按定义2 ， 为 的一个聚点.
5 致密性定理.
推论：任一有界数列必有收敛子列.
证 设 为有界数列．若 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的．
若 中不含有无限多个相等的项，则 在数轴上对应的点集必为有
界无限点集，故由聚点定理，点集 至少有一个聚点，记为 ．于是按定
义 ,存在 的一个收敛的子列以 为极限.
作为致密性定理的应用,我们用它重证数列的柯西收敛准则的充分性
证明 充分性
由已知条件： ， ，当 时,有 ．欲证 收敛．
首先证 有界． 取 ，则 ， 有
特别地， 时
设 ，则 ，
再由致密性定理知， 有收敛子列 ，设 .
对任给 ，存在 ,当 时,同时有
，和
因而当取 时,得到
故 .
6 海涅–博雷尔(Heine–Borel) 有限覆盖定理:
1. 定义(覆盖 )
设 为数轴上的点集 , 为开区间的集合（即 的每一个元素都是形如 的开区间）. 若 中任何一点都含在 中至少一个开区间内，则称 为 的一个开覆盖,或称 覆盖 ．
若 中开区间的个数是无限（有限）的，则称 为 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．
例 覆盖了区间 , 但不能覆盖 ；
覆盖 , 但不能覆盖 .
2． 海涅–博雷尔Heine–Borel 有限复盖定理:
定理7.3 (有限覆盖定理) 设 是闭区间 的一个无限开覆盖，即 中每一点都含于 中至少一个开区间 内．则在 中必存在有限个开区间，它们构成 的一个有限开覆盖．
证明 （用区间套定理证明有限覆盖定理）用反证法
设 为闭区间 的一个无限开覆盖．假设定理的结论不成立：即
不能用 中有限个开区间来覆盖．
对 采用逐次二等分法构造区间套 ， 的选择法则：取“不能用 中有限个开区间来覆盖”的那一半．
由区间套定理， ．
因为 ,所以 使
记 由推论，当 足够大时， 有
这表示 用 中一个开区间 就能覆盖，与其选择法则相违背．所以 必能用 中有限个开区间来覆盖．
说明 当 改为 时，或者 不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立．
例如：
1) ： ．
是开区间 的一个无限开覆盖，但不能由此产生 的有限覆盖．
2) ： ．
是 的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生 的有限覆盖．
三 实数完备性基本定理的等价性
1 实数完备性基本定理的等价性
至此,我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即
定理1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.
确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与它等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．
定理2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．
定理3 (区间套定理） 设 为一区间套：
1）
2） ．
则存在唯一一点
定理4 (有限覆盖定理) 设 是闭区间 的一个无限开覆
盖，即 中每一点都含于 中至少一个开区间 内．则在 中必存
在有限个开区间，它们构成 的一个有限开覆盖．
定理5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 ，即在 的任意小邻域内都含有 中无限多个点（ 本身可以属于 ，也可以不属于 ）．
定理6 (柯西准则) 数列 收敛的充要条件是： ，只要 恒有 ．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．
2 实数完备性基本定理等价性的证明
证明若干个命题等价的一般方法.即循环论证，当然也可以用其他的方法进行，下面我们按循环论证来进行实数完备性基本定理等价性的证明：
定理1（确界原理） 定理2 (单调有界定理) 定理3 (区间套定理） 定理4 (有限覆盖定理) 定理5 (聚点定理) 定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）
其中 定理1（确界原理） 定理2 (单调有界定理)，定理2 (单调有界定理) 定理3 (区间套定理）与定理3 (区间套定理） 定理4 (有限覆盖定理)分别见定理2.9, 7.1与7.3； 定理4 (有限覆盖定理) 定理5 (聚点定理)和定理5 (聚点定理) 定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）作为练习自证；而定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）见下例.
例1 用“数列柯西收敛准则” 证明“确界原理” ：
即 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .
证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）
设 为非空有上界数集 . 由实数的阿基米德性,对任何正数 ,存在整数 ,使得 为 的上界,而 不是 的上界,即存在 ,使得 .
分别取 , ,则对每一个正整数 ,存在相应的 ,使得 为 的上界,而 不是 的上界,故存在 ,使得 .
又对正整数 ， 是 的上界，故有 .再由 得
；同理有 .从而得 .
于是,对任给的 ,存在 ,使得当 时有 .
由柯西收敛准则,知数列 收敛.记 .
下面证明 就是 的上确界.首先,对任何 和正整数 有 ,
由 得 ,即 是 的上界.其次, 对任何 ,
由 及 ,对充分大的 同时有 , .
又因 不是 的上界, 故存在 ,使得 .
再结合 , 得 .
这说明 为 的上确界.
同理可证：非空有下界数集必有下确界.
作业 P168 1，2，3，4，5，6，7.
第二节 闭区间上连续函数性质的证明
在本节中，将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章第二节中给出的闭区间上连续函数的基本性质
一 有界性定理
若函数 在闭区间 上连续，则 在 上有界
证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 参阅[3]P106—107
证法 二 ( 用致密性定理). 反证法.
证明： 如若不然， 在 上无界， ， ，使得 ，对于序列 ，它有上下界 ，致密性定理告诉我们 使得 ，由 在 连续，及 有
，
矛盾.
证法 三 ( 用有限复盖定理 ).
证明：（应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（定理4.2）对每一点 都存在邻域 及正数
使 ,
考虑开区间集
显然 是 的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在 的一个有限点集
覆盖了 ,且存在正整数
使对一切 有 ，
令 则对 ， 必属于某 ， ，
即证得 在 上有上界．
二 最大、最小值定理
若函数 在闭区间 上连续, 则 在 上取得最大值和最小值.
证 ( 用确界原理 ) ( 只证取得最大值 )
令 ， , 如果 达不到 ，则恒有 .
考虑函数 ，则 在 上连续，因而有界，设 是 的一个上界，则
，
从而 ，
这与 是上确界矛盾，因此 ，使得 .
类似地可以证明达到下确界.
三 介值性定理
设 在闭区间 上连续,且 若 为介于 与 之间的任何实数 或 ，则存在 使 ．
证法一 (应用确界定理)
不妨设 ，令
则 也是 上连续函数, ， ,于是定理的结论转为: 存在 ，使 这个简化的情形称为根的存在性定理(定理4.7的推论)
记 ，显然 为非空有界数集
故有确界定理, 有下确界,
记 .因 ， 由连续函数的局部保号性, ，使在 内 ，在 内 ．由此易见 ， ，即 ．
下证 ．倘若 ，不妨设 ，
则又由局部保号性,存在 使在其内 ，特别有
，
但此与 矛盾，则必有 ．
几何解释： 直线 与曲线 相交.把 轴平移到 ，则问题成为零点存在问题.这启发我们想办法作一个辅助函数，把待证问题转化为零点存在问题.辅助函数如何作？
① 从几何上， , 启示我们作
函数 ；
② 从结果 着手.
利用零点定理证：令 ，则 在 上连续，往下即转化为零点存在问题.
证法二 ( 用区间套定理 ) .
这里我们证明与介值性定理等价的“零点定理 ”.
命题（零点存在定理或根的存在性定理）
设函数 在闭区间 上连续，即 ，且 与 异号，则在 内至少存在一点 使得 .即方程 在 内至少存在一个实根.
证明 设 ， .将 二等分为 、 ，
若 则 即为所求；若 ，当 时取 否则取 ，将所取区间记为 ，从而有 ， .如此继续，如某一次中点 有 终止（ 即为所求）；否则得
满足：（1） ；
（2） ；
（3） ，
由闭区间套定理知， 唯一的 ， ，且
由 在 处的连续性及极限的保号性得
， ，
这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊，最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方法，以后会经常用到.
四 一致连续性定理
若函数 在闭区间 上连续, 则 在 上一致连续.
证法 一 ( 用有限复盖定理) .
证明: 由 在闭区间 上连续性， ，对每一点 ，都存在 ，使当 时，有
(2)
考虑开区间集合
显然 是 的一个开覆盖，由有限覆盖定理,存在 的一个有限子集
覆盖了 . 记
对 , ， 必属于 中某开区间，设 ，
即 ，此时有
故由（2）式同时有 和
由此得 .所以 在 上一致连续.
证法二 ( 用致密性定理).
证明： 如果不然， 在 上不一致连续，
， ， ， ，而 .
取 ，（ 为正整数） ， ，
而 ，当 取遍所有正整数时，得数列 与 .
由致密性定理，存在 的收敛子序列 ,设 ，
而由 ，可推出
又得 .
再由 在 连续，在 中令 ，得
，
与 矛盾.所以 在 上一致连续.
作业 P172 1，2，3，4， 5.
第三节 上极限和下极限
一 上（下）极限的定义
对于数列，我们最关心的是其收敛性；如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往可以实现.例如： .
一般地，数列 ，若 ： ，则称 是数列 的一个极限点.如点例 有2个极限点.数列 的最大（最小）极限点如果存在，则称为该数列的上（下）极限，并记为 （ ）.如 ， .
例1 求数列 的上、下极限
例2 设 ，求上、下极限.
二 上（下）极限的存在性
下面定理指出，对任何数列 ，它的上（下）极限必定存在.
定理1 每个数列 的上极限和下极限必定唯一，且
＝ ，
＝ .
三 上下极限和极限的关系
.
定理2 存在极限则 的上极限和下极限相等，
即 ＝ ＝ .
四 上（下）极限的运算
普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立.例如：
.
一般地有： ，当 收敛时，等号成立.
作业 p175 1，2，3.
目的与要求：使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；明确六个基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题．了解数列上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系.
重点与难点：重点是实数完备性基本定理的证明，难点是实数完备性基本定理的应用.
第一节 关于实数集完备性的基本定理
一 区间套定理与柯西收敛准则
1 区间套
定义1 区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件
（1） 对 , 有 , 即 , 亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中；
（2） . 即当 时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .
区间套还可表达为:
， .
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减.
例如 和 都是区间套. 但 、
和 都不是.
2 区间套定理
定理7.1(区间套定理) 设 是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点.
证明 （用单调有界定理证明区间套定理）
由假设（1）知，序列 单调上升，有上界 ；序列 单调下降，有下界 .因而有
， . .
再由假设（2）知
，
记 . 从而有
.
若还有 满足 ，令 ，得 .故 是一切 的唯一公共点.证毕.
注： 这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：
（1）要求 是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的，则定理不一定成立.如
.
显然有 ， 但 .
如果开区间套是严格包含： ，这时定理的结论还是成立的.
（2） 若 ，但 ，此时仍有 ， ，但 ，于是对任意的 ， ，都有 .
全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，该定理刻划实数集是完备的.该定理也给出通过逐步缩小搜索范围，找出所求点的一种方法.
推论 设 为一区间套， ．
则 当 时，恒有 ．
用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．
3 数列的柯西收敛准则的证明
数列的柯西收敛准则：
数列 收敛的充要条件是： ， ，当 时,有 ．
（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
证明 必要性
设 ．由数列极限定义， ， ，当 时有
， ，
因而 ．
充分性 按假设， ， ，使得对一切 有 ，
即在区间 内含有 中除有限项外的所有项．
据此，令 ，则 ，在区间 内含有 中除有限项外的所有项．记这个区间为 ．
再令 ，则 ，在区间 内含有 中除有限项外的所有项．记
，它也含有 中除有限项外的所有项，
且满足 及 ．
继续依次令 ，照以上方法得一闭区间列 ，其中每一个区间都含有 中除有限项外的所有项，且满足 ， ，
即 是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数 （ ）．
现在证明数 就是数列 的极限．事实上，由区间套定理的推论，
当 时，恒有 ．
因此在 内含有 中除有限项外的所有项，这就证得 ．
二 聚点定理与有限覆盖定理
1 聚点
定义2 设 是无穷点集. 若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无穷多个点, 则称点 为 的一个聚点.
数集 有唯一聚点 , 但 ；
开区间 的全体聚点之集是闭区间 ；
设 是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚点集是闭区间 .
2 聚点概念的另两个等价定义
定义 对于点集 ，若点 的任何 邻域内都含有 中异于 的点，即
，则称点 为 的一个聚点.
定义 若存在各项互异的收敛数列 ，则其极限 称为 的一个聚点.
3 以上三个定义互相等价的证明：
证：定义2 定义 显然成立．
定义 定义 由定义 ，取 ， ；
再取 则 ，且显然 ；
……
一般取 则 ，且显然 与 互异；
……
无限地重复以上步骤，得到 中各项互异的数列 ，
且由 ，易见 ．
定义 定义2 ， ，当 时，必有
，且因 各项互不相同，故 内含有 中无限多个点．[证毕]
4 聚点定理
定理 7.2 (魏尔斯特拉斯聚点定理 Weierstrass ) 直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 ，即在 的任意小邻域内都含有 中无限多个点（ 本身可以属于 ，也可以不属于 ）．
证 因为 为有界无限点集,故存在 ,使得 ,记 ．
现将 等分为两个子区间．因为 为有界无限点集，故两个子区间中至少有一个含有 中无穷多个点，记此区间为 ，则 ，且
．
再将 等分为两个子区间．则两个子区间中至少有一个含有 中无穷多个点，记此区间为 ，则 ，且
．
将此等分区间的手续无限地进行下去，得到一个闭区间列 ，它满足
， ，
即 是区间套，且每一个闭区间中都含有 中无穷多个点．
由区间套定理，存在唯一的一个数 （ ）．
于是由区间套定理的推论， 当 时，恒有 ．
从而 内含有 中无穷多个点，按定义2 ， 为 的一个聚点.
5 致密性定理.
推论：任一有界数列必有收敛子列.
证 设 为有界数列．若 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的．
若 中不含有无限多个相等的项，则 在数轴上对应的点集必为有
界无限点集，故由聚点定理，点集 至少有一个聚点，记为 ．于是按定
义 ,存在 的一个收敛的子列以 为极限.
作为致密性定理的应用,我们用它重证数列的柯西收敛准则的充分性
证明 充分性
由已知条件： ， ，当 时,有 ．欲证 收敛．
首先证 有界． 取 ，则 ， 有
特别地， 时
设 ，则 ，
再由致密性定理知， 有收敛子列 ，设 .
对任给 ，存在 ,当 时,同时有
，和
因而当取 时,得到
故 .
6 海涅–博雷尔(Heine–Borel) 有限覆盖定理:
1. 定义(覆盖 )
设 为数轴上的点集 , 为开区间的集合（即 的每一个元素都是形如 的开区间）. 若 中任何一点都含在 中至少一个开区间内，则称 为 的一个开覆盖,或称 覆盖 ．
若 中开区间的个数是无限（有限）的，则称 为 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．
例 覆盖了区间 , 但不能覆盖 ；
覆盖 , 但不能覆盖 .
2． 海涅–博雷尔Heine–Borel 有限复盖定理:
定理7.3 (有限覆盖定理) 设 是闭区间 的一个无限开覆盖，即 中每一点都含于 中至少一个开区间 内．则在 中必存在有限个开区间，它们构成 的一个有限开覆盖．
证明 （用区间套定理证明有限覆盖定理）用反证法
设 为闭区间 的一个无限开覆盖．假设定理的结论不成立：即
不能用 中有限个开区间来覆盖．
对 采用逐次二等分法构造区间套 ， 的选择法则：取“不能用 中有限个开区间来覆盖”的那一半．
由区间套定理， ．
因为 ,所以 使
记 由推论，当 足够大时， 有
这表示 用 中一个开区间 就能覆盖，与其选择法则相违背．所以 必能用 中有限个开区间来覆盖．
说明 当 改为 时，或者 不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立．
例如：
1) ： ．
是开区间 的一个无限开覆盖，但不能由此产生 的有限覆盖．
2) ： ．
是 的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生 的有限覆盖．
三 实数完备性基本定理的等价性
1 实数完备性基本定理的等价性
至此,我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即
定理1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.
确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与它等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．
定理2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．
定理3 (区间套定理） 设 为一区间套：
1）
2） ．
则存在唯一一点
定理4 (有限覆盖定理) 设 是闭区间 的一个无限开覆
盖，即 中每一点都含于 中至少一个开区间 内．则在 中必存
在有限个开区间，它们构成 的一个有限开覆盖．
定理5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 ，即在 的任意小邻域内都含有 中无限多个点（ 本身可以属于 ，也可以不属于 ）．
定理6 (柯西准则) 数列 收敛的充要条件是： ，只要 恒有 ．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．
2 实数完备性基本定理等价性的证明
证明若干个命题等价的一般方法.即循环论证，当然也可以用其他的方法进行，下面我们按循环论证来进行实数完备性基本定理等价性的证明：
定理1（确界原理） 定理2 (单调有界定理) 定理3 (区间套定理） 定理4 (有限覆盖定理) 定理5 (聚点定理) 定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）
其中 定理1（确界原理） 定理2 (单调有界定理)，定理2 (单调有界定理) 定理3 (区间套定理）与定理3 (区间套定理） 定理4 (有限覆盖定理)分别见定理2.9, 7.1与7.3； 定理4 (有限覆盖定理) 定理5 (聚点定理)和定理5 (聚点定理) 定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）作为练习自证；而定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）见下例.
例1 用“数列柯西收敛准则” 证明“确界原理” ：
即 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .
证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）
设 为非空有上界数集 . 由实数的阿基米德性,对任何正数 ,存在整数 ,使得 为 的上界,而 不是 的上界,即存在 ,使得 .
分别取 , ,则对每一个正整数 ,存在相应的 ,使得 为 的上界,而 不是 的上界,故存在 ,使得 .
又对正整数 ， 是 的上界，故有 .再由 得
；同理有 .从而得 .
于是,对任给的 ,存在 ,使得当 时有 .
由柯西收敛准则,知数列 收敛.记 .
下面证明 就是 的上确界.首先,对任何 和正整数 有 ,
由 得 ,即 是 的上界.其次, 对任何 ,
由 及 ,对充分大的 同时有 , .
又因 不是 的上界, 故存在 ,使得 .
再结合 , 得 .
这说明 为 的上确界.
同理可证：非空有下界数集必有下确界.
作业 P168 1，2，3，4，5，6，7.
第二节 闭区间上连续函数性质的证明
在本节中，将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章第二节中给出的闭区间上连续函数的基本性质
一 有界性定理
若函数 在闭区间 上连续，则 在 上有界
证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 参阅[3]P106—107
证法 二 ( 用致密性定理). 反证法.
证明： 如若不然， 在 上无界， ， ，使得 ，对于序列 ，它有上下界 ，致密性定理告诉我们 使得 ，由 在 连续，及 有
，
矛盾.
证法 三 ( 用有限复盖定理 ).
证明：（应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（定理4.2）对每一点 都存在邻域 及正数
使 ,
考虑开区间集
显然 是 的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在 的一个有限点集
覆盖了 ,且存在正整数
使对一切 有 ，
令 则对 ， 必属于某 ， ，
即证得 在 上有上界．
二 最大、最小值定理
若函数 在闭区间 上连续, 则 在 上取得最大值和最小值.
证 ( 用确界原理 ) ( 只证取得最大值 )
令 ， , 如果 达不到 ，则恒有 .
考虑函数 ，则 在 上连续，因而有界，设 是 的一个上界，则
，
从而 ，
这与 是上确界矛盾，因此 ，使得 .
类似地可以证明达到下确界.
三 介值性定理
设 在闭区间 上连续,且 若 为介于 与 之间的任何实数 或 ，则存在 使 ．
证法一 (应用确界定理)
不妨设 ，令
则 也是 上连续函数, ， ,于是定理的结论转为: 存在 ，使 这个简化的情形称为根的存在性定理(定理4.7的推论)
记 ，显然 为非空有界数集
故有确界定理, 有下确界,
记 .因 ， 由连续函数的局部保号性, ，使在 内 ，在 内 ．由此易见 ， ，即 ．
下证 ．倘若 ，不妨设 ，
则又由局部保号性,存在 使在其内 ，特别有
，
但此与 矛盾，则必有 ．
几何解释： 直线 与曲线 相交.把 轴平移到 ，则问题成为零点存在问题.这启发我们想办法作一个辅助函数，把待证问题转化为零点存在问题.辅助函数如何作？
① 从几何上， , 启示我们作
函数 ；
② 从结果 着手.
利用零点定理证：令 ，则 在 上连续，往下即转化为零点存在问题.
证法二 ( 用区间套定理 ) .
这里我们证明与介值性定理等价的“零点定理 ”.
命题（零点存在定理或根的存在性定理）
设函数 在闭区间 上连续，即 ，且 与 异号，则在 内至少存在一点 使得 .即方程 在 内至少存在一个实根.
证明 设 ， .将 二等分为 、 ，
若 则 即为所求；若 ，当 时取 否则取 ，将所取区间记为 ，从而有 ， .如此继续，如某一次中点 有 终止（ 即为所求）；否则得
满足：（1） ；
（2） ；
（3） ，
由闭区间套定理知， 唯一的 ， ，且
由 在 处的连续性及极限的保号性得
， ，
这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊，最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方法，以后会经常用到.
四 一致连续性定理
若函数 在闭区间 上连续, 则 在 上一致连续.
证法 一 ( 用有限复盖定理) .
证明: 由 在闭区间 上连续性， ，对每一点 ，都存在 ，使当 时，有
(2)
考虑开区间集合
显然 是 的一个开覆盖，由有限覆盖定理,存在 的一个有限子集
覆盖了 . 记
对 , ， 必属于 中某开区间，设 ，
即 ，此时有
故由（2）式同时有 和
由此得 .所以 在 上一致连续.
证法二 ( 用致密性定理).
证明： 如果不然， 在 上不一致连续，
， ， ， ，而 .
取 ，（ 为正整数） ， ，
而 ，当 取遍所有正整数时，得数列 与 .
由致密性定理，存在 的收敛子序列 ,设 ，
而由 ，可推出
又得 .
再由 在 连续，在 中令 ，得
，
与 矛盾.所以 在 上一致连续.
作业 P172 1，2，3，4， 5.
第三节 上极限和下极限
一 上（下）极限的定义
对于数列，我们最关心的是其收敛性；如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往可以实现.例如： .
一般地，数列 ，若 ： ，则称 是数列 的一个极限点.如点例 有2个极限点.数列 的最大（最小）极限点如果存在，则称为该数列的上（下）极限，并记为 （ ）.如 ， .
例1 求数列 的上、下极限
例2 设 ，求上、下极限.
二 上（下）极限的存在性
下面定理指出，对任何数列 ，它的上（下）极限必定存在.
定理1 每个数列 的上极限和下极限必定唯一，且
＝ ，
＝ .
三 上下极限和极限的关系
.
定理2 存在极限则 的上极限和下极限相等，
即 ＝ ＝ .
四 上（下）极限的运算
普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立.例如：
.
一般地有： ，当 收敛时，等号成立.
作业 p175 1，2，3.
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