Question

离散数学上的问题,急!!!

令Z[i]={a+bi|a,b∈Z},其中i为虚数单位,即i平方=-1,那么Z[i]对于普通加法和乘法能否构成环?为什么?
大哥大姐们,帮帮小弟吧~!急要答案~!感激不尽~!

Answer 1

当然可以构成环,并且是含幺交换环,Z[i]上有两个运算:普通加法和乘法,对加法满足结合性和交换性,数零0是加法幺元,a+bi的逆元是-a-bi,故关于加法构成一个Abel群,对乘法满足结合性,故关于乘法构成一个半群,两种运算之间有分配律存在,即乘法对加法有分配律,根据环的定义它是环.
另一方面,乘法有交换性,数1是乘法幺元,因此它是一个含幺交换环.

Answer 2

可以啊，你可以拿他运行加法和乘法运算。
过程可能比较啰嗦，你自己按照运算定理自己选一下。

Answer 3

任意的x=a+bi,y=c+di,abcd∈Z
x+y=(a+c)+(b+d)i 这里a+c,b+d∈Z所以x+y∈Z[i]
xy=(ac-bd)+(ad+bc)i这里ac-bd,ad+bc∈Z,所以xy∈Z。
其他性质显然，比如说加法的零元为0；乘法的幺元为1等等
故构成环！