Question

arctanx的幂级数展开式

Answer 1

解：思路是先求导，利用导数的幂级数展开式，然后对导数的展开式进行积分即可
(arctanx)'=1/(1+x^2)
而1-x^2+x^4+......(-1)^(n)x^(2n)=1/[1-(-x^2)]=1/(1+x^2)..(.|-x^2|<1)
所以arctanx=x-x^3/3+x^5/5+.......+(-1)^(n)*x^(2n+1)/(2n+1)...|x|<1
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Answer 2

解：思路是先求导，利用导数的幂级数展开式，然后对导数的展开式进行积分即可
(arctanx)'=1/(1+x^2)
而1-x^2+x^4+......(-1)^(n)x^(2n)=1/[1-(-x^2)]=1/(1+x^2)..(.|-x^2|<1)
所以arctanx=x-x^3/3+x^5/5+.......+(-1)^(n)*x^(2n+1)/(2n+1)...|x|<1
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Answer 3

先写出arctanx的变上限积分表达式(书上都有),再把被积函数用幂级数展开,交换积分号和求和号就得到
但注意交换积分号和求和号是有条件的,要有一致收敛性保证,你可以查阅下相关的资料.