Question

设a 、b、c∈正实数。求证(a²/b+c)+（b²/a+c）+（c²/a+b）≥1/2（a+b+c）

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Answer 1

a2/(b+c)+b2/(a+c)+c2/(a+b)≥1/2(a+b+c)
先介绍重要的柯西不等式：
(a1^2+b1^2+c1^2)(a2^2+b2^2+c2^2)≥(a1a2+b1b2+c1c2)^2
用文字表达即：方和积≥积和方

[a^2/(b+c)]+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)][(b+c)+(a+c)+(a+b)]≥(a+b+c)^2
所以a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)≥1/2(a+b+c)

Answer 2

由[4a²/（b+c)+(b+c)]+[4b²/（a+c)+（a+c)]+[4c²/(a+b)+(a+b)]≥4（a+b+c）（均值不等式）
即[4a²/（b+c)]+[4b²/（a+c)]+[4c²/(a+b)]≥2（a+b+c)
即[a²/（b+c)]+[b²/（a+c)]+[c²/(a+b)]≥1/2（a+b+c)
(当且仅当a=b=c时取等号）

Answer 3

（1）柯西不等式：设a,b,c,x,y,z均为非0实数，则有（a^2+b^2+c^2)*(x^2+y^2+z^2)≥(ax+by+cz)^2,等号仅当a:x=b:y=c:z时取得。（2）由题设条件，应用柯西不等式可知，{[a/√(b+c)]^2+[b/√(a+c)]^2+[c/√(a+b)]^2}*{[√(a+b)]^2+[√(b+c)]^2+[√(a+c)]^2}≥(a+b+c)^2.(易知，第1个大括号内即是题中原不等式的左边，第2个大括号内即是2（a+b+c)>0.两边同除以2(a+b+c),即得）====>[a^2/(b+c)]+[b^2/(a+c)]+[c^2/(a+b)]≥1/2*(a+b+c).