Question

一道三角函数与数列证明综合的数学题 帮解答下

已知An=n+1 π:派（即3.1415.........）
(1)求证：sin(π/An)>=2/An
(2)设数列 sin(π/An*An+1) 的前n项和为Sn，求证：1/3<Sn<π/2

请高手帮忙

Answer 1

答：
(1)
证明：
设π/An=x,则2/An=2x/π,0<x<π/2,
不等式化为
sinx≥2x/π.
令f(x)=sinx-2x/π.
f'(x)=cosx-2/π.f'(x)=0仅有一个零点，设为x1,
在(0,x1)上,f'(x)>0,在(x1,π/2)上，f'(x)<0.
在x∈(0,π/2)内，
f(x)先增后减，且f(0)=f(π/2)=0.
所以f(x)≥0在该区间上恒成立。
即sinx≥2π/x.
(2)
先证在(0,π/2)内，
x≥sinx.
令
g(x)=x-sinx,
g'(x)=1-cosx≥0.
g(0)=0.
所以不等式成立。
于是在(0,π/2)上，
x≥sinx≥2x/π.
sin[π/AnA(n+1)]=sin[π/(n+1)(n+2)].代入不等式，有
π/(n+1)(n+2)≥sin[π/(n+1)(n+2)]≥2/(n+1)(n+2).
分别令n=1,2,3...代入并且相加，得到
π[1/2-1/(n+2)]≥Sn≥2[1/2-1/(n+2)]>1/3.
于是
1/3<Sn<π/2.

Answer 2

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