Question

求微分方程：根号(1-y^2)dx=根号(1+x^2)dx，左边等式求积分的时候过程详细点可以吗？谢谢！

Answer 1

√(1-y^2)dy=√(1+x^2)dx
通解y√(1-y^2)+arcsiny=x√(1+x^2)+ln|x+√(1+x^2|+C

∫√1-y^2)dy=y√(1-y^2)+∫y^2dy/√(1-y^2)
=y√(1-y^2)-∫√(1-y^2)dy+∫dy/√(1-y^2)
2∫√(1-y^2)dy=y√(1-y^2)+∫dy/√(1-y^2)
∫√(1-y^2)dy=(1/2)y√(1-y^2)+(1/2)arcsiny

∫√(1+x^2)dx
x=tanu
=∫secu^3du
=∫secudtanu=secutanu-∫tanudsecu=secutanu-∫tanu^2secudu
=secutanu-∫secu^3du+∫secudu
2∫secu^3du=secutanu+∫secudu=secutanu+ln|secu+tanu|
∫√1+x^2)dx=(1/2)secutanu+(1/2)ln|secu+tanu|
=(1/2)x√(1+x^2)+(1/2)ln|x+√(1+x^2)|

Answer 2

题目有点小问题，哪个是dy？

追问

前面那个 根号(1-y^2)dy=根号(1+x^2)dx 不好意思！！！

追答

由于不好输入字符，所以简单说一下思路。
对于左边的积分，需要用到分式的拆项，也就是把它拆成两个分母为一次的分式之和，具体方法一般常用待定系数法，拆开之后用简单的凑微分法即可，貌似是0.5ln（1+y）/（1-y）。对于分母是A-Bx*x，他有一个公式的，熟悉之后可以直接用的，如要求解，方法就是拆项。
对于右边的积分，方法也比较多，你可以用一次分部积分法之后再凑微分，也可以直接用换元法，令x=tanα，换元之后进行积分，最后反带回去即可
具体过程麻烦你自己计算一下

追问

右边的我知道，就是左边的，答案不知道是怎么得出的，积分后等于 ln(x+根号(1+x^2)) 不知道这是怎么得到的，麻烦你了！谢谢！

追答

不好意思，题目我看错了。我前面所说的是针对1/（1-y^2）而言的。
不过你确定右边的函数是根号(1-y^2)？如果是的话，直接换元积分，令y=sinα，其中α在（-90°，90°）也就是一象限和四象限。换元之后变成了cosα*cosα*dα，然后用倍角公式化简求积分，最后反带回去，结果是0.5（arcsinx+x根号【1-x*x】），不是你给出的 ln(x+根号(1+x^2))
如果是1/根号(1-y^2）的话直接用基本积分公式就可以了，是arcsinx
无论上面那种情况都不是你给出的那个答案。
ln(x+根号(1+x^2)) 是函数1/根号（1+x*x）积分值，所以按照你给出的答案，左边的被积函数应该是1/根号（1+y*y）

追问

恩，是我自己的问题，可恶啊，怎么都搞错了呢，实在是对不起!!!，题目应该是
根号(1-y^2)dx=根号(1+x^2)dy
左边ln(x+根号(1+x^2)) = 右边arcsiny+C
左边不知道是怎么积出来的

追答

根号(1-y^2)dx=根号(1+x^2)dy
呵呵，这是高数里面必须要记忆的公式，两边都是，如果熟悉的话直接用公式带入就可以了，具体内容在不定积分里面那一部分。还有一种就是猜想法，呵呵，比如说等价无穷小你就可以猜想很多出来，只要是正确的就行。
解法是，首先分离变量，结果两边都变成了分式，dx/根号(1+x^2)=dy/根号(1-y^2)
右边你已经知道了，对于左边，一般用换元法来做。令x=tanu，u在一四象限。于是左边变成了du/cosu，对于这个积分，分子分母同时乘以cosu，然后把cosudu变成dsinu，分母cosu*cosu变成1-sinu*sinu，于是就成了dsinu/(1-sinu*sinu)，这不就是有理分式的积分了？他的积分结果是0.5ln（1+sinu）/（1-sinu），此时需要做的就是把x反带回去。因为x=tanu，所以比较常用的方法就是直接构造一个直角三角形，一个角是u，u对应的直角边长度是x，另一个直角边是1，斜边是根号（1+x*x），于是sinu=x/根号（1+x*x）然后你把它直接代入积分结果0.5ln（1+sinu）/（1-sinu）进行化简即可。答案就是ln(x+根号(1+x^2))
注意，对于0.5ln（1+sinu）/（1-sinu），一般常用的化简方法是分子分母同时乘以一个因子，比如说我们可以同时乘以1+sinu，