Question

几道高数题，高手请进～～！

题目比较多，见谅哈～～～我数学不好……

1.设f(x)=x^n[sin(1/x)] (x不等于0) 且f(0)=0,则f(x)在x=0处（c）
A. 仅当limx->0 f(x)=limx->0 x^n[sin(1/n)]=f(0)=0时才可微
B. 在任何条件下均可微
C.当且仅当n>1时才可微
D.因sin(1/n)在x=0处无定义，故不可微

为什么选C？？

2.求极限limx->∞ x^(1/x)

不会求……

3.x->o+ , x->0- ,x->+∞ ，x->-∞ 的时候，e^(1/x)极限分别是什么？？

4.曲线 y=(x^2 +1)/(x-1)有无水平渐近线？

5.要使函数f(x)={ x^n[sin(1/x)],x不等于0； 0,x=0}
(n为自然数)在x=0处的导函数连续，则n=（D）
A.0 b.1 c.2 d.n>=3
忘记写了，第五题为什么选D～～请高手们简单易懂的说，特别是第三题，我一见这个就晕…………

Answer 1

解;
(1)判断函数在这一点的可微性:

连续:
lim(x->0)f(x)=f(0)=0
lim(x->0)x^nsin(1/x)=0
sin(1/x)有界,所以n>0

根据可导的定义:
lim(x->0)f(x)-f(0)/x=lim(x->0)x^(n-1)sin(1/x)=0
n-1>0
n>1

所以:n>1

(5)
连同你的第五题目一起作答:
在x=0导函数连续,导数应该是0
x不等于0,f'(x)=nx^(n-1)sin(1/x)+x^(n-2)cos(1/x)

根据第一题目:可以知道要使得他连续,有:
n-1>=1
n-2>=1

所以:n>=3

(2)求极限limx->∞ x^(1/x)
取对数:
lim(x->无穷)lnx/x
=lim(x->无穷)1/x
=0

所以原来的极限是:e^0=1

(3)

3.x->o+ , x->0- ,x->+∞ ，x->-∞ 的时候，e^(1/x)极限分别是什么？？

x->0+,1/x->+无穷
e^(1/x)->+无穷

x->0-,1/x->-无穷
e^(1/x)->0

x->+无穷或者-无穷,1/x->0
e^(1/x)->1

(4)
曲线 y=(x^2 +1)/(x-1)有无水平渐近线？

lim(x->正无穷)f(x)和lim(x->负无穷)f(x)不存在

所以不存在水平渐近线

Answer 2

题目太多了，就说第三题吧。顺便说第二题是1.第三题，我们只要看1/x的极限，因为e^x是初等罕数。当负零是1/x趋负无穷，那么e^1/x趋向零。以此类推其它几项，就可以了，我要睡觉了。