Question

复变函数与积分变换 的几道题目求答，高手请进

如题。
要有详细分析解答过程。多谢

1.z=0 是 cos（1/z-1)的什么奇点? Res[cos(1/z-1),1]= ?

2.设f(t)是以2为周期的周期函数，且在一个周期内的表达式为
① f(t)= e的t次方，0＜t≤1; ② f(t)=0,1＜t＜2.
求拉普拉斯变换 L[f(t)]=?
哎。第一题打错了，造成误解，第一题本来是这样的:

1. z=1 是 cos[1/(z-1)]的什么奇点? Res[cos1/(z-1),1]= ?

再加一道第三题:

3.将函数f(z)=(z+2)/[(z-1)(z-2)] 分别在 ①0＜|z-1|＜1 ②2＜|z|＜+∞ 展开成洛朗级数。

加分请大家回答改后的这三道题，有详细过程。我知道有些式子符号很难表示，大家尽量让我明白就是了

Answer 1

1.是可去奇点
注意到lim(z->0)cos(1/(z-1))=cos(-1)
即极限存在有限
所以是个可去奇点
Laurent展开为cos(1/(z-1)=sigma(1/(2*n)!(-1)^n(1/(z-1))^(2*n))
其中z-1的负一次幂系数是0
所以Res（cos(1/(z-1)),z)=0
2.Laplace变换我不会
不好意思
3.1.(z+2)/(z-1)(z-2)=(z+2)*(1/(z-2)-1/(z-1))
=4/(z-2)-3/(z-1)
=-4/(1-(z-1))-3/(z-1)
=-4sigma((z-1)^n)-3/(z-1)
2.(z+2)/(z-1)(z-2)=4/(z-2)-3/(z-1)
=4/z*1/(1-2/z)-3/z*1/(1-1/z)
=4/z*sigma((2/z)^n)-3/z*((1/z)^n)
=sigma_{n=1}^{+Infinity}((4*2^n-3)*(1/z)^n)

Answer 2

解：（1) 本性奇点 z<0接近于0是时，1/z为负无穷大，z>0接近0时为正无穷大
后面那个为 根号2

（2）L[f(t)]=1/(s-1)

Answer 3

第一题是z=1吧？是本性奇点，将其展开成（z-1)的幂级数，记住cosx的泰勒展式就行了，有无穷多的负次幂。其-1次幂的系数为0，所以留数=0