Question

怎样解一元三次方程,举例说明

Answer 1

一元三次方程求根公式的解法

-------摘自高中数学网站

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了
参考资料：摘自高中数学网站

Answer 2

对于高于二次的代数方程，一般是没有解决办法的。卡当在书中列专题论述了多种方程的解法，甚至求得一些特殊三次方程的解。例如：方程6x3- 4x2 = 34x + 24，方程两边同时加上6x3 + 20x2，合并后得： 4x2(3x＋4) = (2x2＋4x＋6)(3x＋4)，两边同除以3x+4，则由二次方程解得原方程的一个正根x=3。按当时的习惯，一般不承认方程有负根，解出一个正根就认为是解完了方程。

Answer 3

先将3次项化为1得到形如x^3+ax^2+bx+c=0的方程，再设x=y-a/3，消去2次项得到形如y^3+py+q=0形式的方程，最后用卡丹公式求解。

卡丹公式，方程x^3+px+q=0

今D=q^2/4+p^3/27

则方程的解为
x=(-q/2+√D)^1/3+(-q/2-√D)^1/3

其中的3次根号要在复数范围内求解，这个公式共有9个解，但只有3个解是正确的，还要讨论。

Answer 4

先将3次项化为1得到形如x^3+ax^2+bx+c=0的方程，再设x=y-a/3，消去2次项得到形如y^3+py+q=0形式的方程，最后用卡丹公式求解。

卡丹公式，方程x^3+px+q=0

今D=q^2/4+p^3/27

则方程的解为
x=(-q/2+√D)^1/3+(-q/2-√D)^1/3

其中的3次根号要在复数范围内求解，这个公式共有9个解，但只有3个解是正确的，还要讨论。

Answer 5

他们说的有点复杂/分解因式了。把它化成两个低次一元方程再解。