Question

数学,一道不等式的证明题

已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证4＜(3a+1)½+(3b+1)½+(3c+1)½≤3×2½

Answer 1

对于作半边，可先证明：√(3x+1)>x+1(0<x<1)

注：以下证明均用√表示根号。
证明：两边平方得：3x+1>x^2+2x+1
<=>x^2-x<0
<=>x(x-1)<0
由(0<x<1)知此事上式成立，即√(3x+1)>x+1在0<x<1时是成立的，于是有：
√(3a+1)>a+1
√(3b+1)>b+1
√(3c+1)>c+1
上三式相加得√(3a+1）+√(3b+1）+√(3c+1）>3+(a+b+c)=4
于是左半得证。

对于右半边，可先考虑证√(3x+1)-√2<=(3√2)(x-1/3)/4（0<x<1）
证明方法同理，将√2移到右边，两边平方再整理得到：9x^2-6x+1>=0
其判别式Δ=0，故其恒成立。
于是同样有：
√(3a+1)-√2<=(3√2)(a-1/3)/4
√(3b+1)-√2<=(3√2)(b-1/3)/4
√(3c+1)-√2<=(3√2)(c-1/3)/4
以上三式相加得：√(3a+1）+√(3b+1）+√(3c+1）<=3√2+(3√2)(a+b+c-1)/4=3√2
于是右半得证。

综上4＜(3a+1)½+(3b+1)½+(3c+1)½≤3×2½是成立的。证毕。