Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD,又M,N,E分别是AB,PC PD的中点

1.求证MN〃平面PAD
2.求证AE⊥平面PDC
3.求证平面MND⊥平面PDC

Answer 1

1.∵M,N,E分别是AB,PC PD的中点
∴NE‖CD且NE=CD/2
所以四边形AMNE是平行四边形，有MN‖AE
∴MN〃平面PAD
2.∵PA⊥平面ABCD，AE是一条斜线，AD为其在平面ABCD上的射影
AD⊥CD
由三垂线定理，AE⊥CD ①
又PA=AD,E为PD中点，有AE⊥PD ②
又CD，PD相交与D
所以AE⊥平面PDC
3.∵AE⊥平面PDC，AE‖MN
∴MN⊥平面PDC
又MN在平面MND上
∴平面MND⊥平面PDC

Answer 2

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥平面ABCD，M,N分别是AB,PC的中点，PA=AD=a
证明：取PD的中点为O
连接AO；NO
∵N；M；O分别是PC；AB；PD的中点
∴ON//且=（1/2）CD
又∵底面ABCD为矩形AB//CD
Am//且=（1/2）CD
∴ON//且=AM
∴四边形AMNO为平行四边形
即AO//MN
又∵AO∈面PAD MN∉面PAD
∴MN//面PAD