Question

如图,在RT△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上

如图,在RT△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连接DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°。
若E为AC中点，求EF：FD

Answer 1

连接DE，E是AC中点，D是BC中点，
∴DE//BA
因为BA⊥AC，所以 DE⊥AC
设AB=2a AE=a
做CH⊥BE交BE的延长线于H
∵∠AEG=∠CEH,∠AGE=∠CHE,AE=EC
∴△AEG≌△CEH
∴CH=AG ∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角
∴BE=√5a
∴AE=AB*AE/BE=(2/√5)a
∴CH=(2/√5)a
∵AG⊥BE，∠FGE=45
∴∠AGF=45=∠ECB
∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB
∴∠DFE=∠BCH
又∵DE⊥AC ，CH⊥BE
∴△DEF∽△BHC
∴EF:DF=CH:BC=(2/√5)a:2√2a=1:√10=√10/10

Answer 2

（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90,AB＝AC，D为BC的中点
∴AD⊥BC 故△BAD∽△BCA
∴BD:BA=BA:BC
∴BA×=BD×BC
∵△DBG∽△EBC
∴BD:BE=BG:BC 即：BD×BC=BE×BG
∴BA×BA=BG×BE 即：BG:BA=BA:BE
∴△BAG∽△BEA ∠BGA=∠BAE=90
∴AG⊥BE

（2）证明：连接DE，E是AC中点，D是BC中点，
∴DE//BA ，因为BA⊥AC，所以 DE⊥AC
设AB=2a AE=a
做CH⊥BE交BE的延长线于H（图可看上图）
∵∠AEG=∠CEH,∠AGE=∠CHE,AE=EC
∴△AEG≌△CEH(AAS)
∴CH=AG ∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角
∴BE=√5a
∴AE=AB*AE/BE=(2/√5)a
∴CH=(2/√5)a
∵AG⊥BE，∠FGE=45
∴∠AGF=45=∠ECB
∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB;
∴∠DFE=∠BCH
又∵DE⊥AC ，CH⊥BE
∴△DEF∽△BHC
∴EF:DF=CH:BC=(2/√5)a:2√2a=1:√10=√10/10

Answer 3

连接DE，E是AC中点，D是BC中点，
∴DE//BA
因为BA⊥AC，所以 DE⊥AC
设AB=2a AE=a
做CH⊥BE交BE的延长线于H
∵∠AEG=∠CEH,∠AGE=∠CHE,AE=EC
∴△AEG≌△CEH
∴CH=AG ∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角
∴BE=√5a
∴AG=AB*AE/BE=(2/√5)a
∴CH=(2/√5)a
∵AG⊥BE，∠FGE=45
∴∠AGF=45=∠ECB
∵∠DFE=∠GAE+∠AGF(=45)=∠HCE+∠ECB(=45)
∴∠DFE=∠BCH
又∵DE⊥AC ，CH⊥BE
∴△DEF∽△BHC
∴EF:DF=CH:BC=(2/√5)a:2√2a=1:√10=√10/10

Answer 4

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