Question

如图1，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC。CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI。

如图1，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC。CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI。
（1）△ABC变化时，设∠BAC=2α。若用α表示∠BIC和∠E，那么∠BIC=_______，∠E =_______；
（2）若AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长；
（3）如图2，延长AI交EC延长线于F。当△ABC形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与△ABI相似？写出这些三角形，并选其中之一证明。

Answer 1

第一问∠BIC=90度+α，∠E =α，这分别是内心和旁心性质，不做太多推导
第二问注意看清对应点，可知角ABC=角ICE=90度，而且I对应A，可知角CIE=角2IEC，因此，角A=角CIE=60度。那么斜边AC=2
第三问分别是三角形AFC,EBC,EFI,下证明EBC为相似，只需寻找两对角相等即可
角IAB=角E,角IBA=角IBC，得证