Question

高二 数学 圆锥曲线复习 请详细解答,谢谢! (16 17:17:43)

A，B是抛物线y^2=4x上的两点，且OA⊥OB，
（1）求A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积
（2）求证：直线AB过顶点
（3）求弦AB中点P的轨迹方程.
（4）求△AOB面积的最小值.

Answer 1

设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0）
（1）kOA=y1/x1,kOB=y2/x2
∵ OA⊥OB
∴ kOAkOB=-1
∴ x1x2+y1y2=0
∵ y1^2=4x1，y2^2=4x2
∴ y1^2/4* y2^2/4+y1y2=0
∵ y1≠0，y2≠0
∴ y1y2=-16
∴ x1x2=16

（2）∵ y1^2=4x1，y2^2=4x2
∴ （y1-y2）(y1+y2)=4(x1-x2)
∴ （y1-y2）/(x1-x2)=4/(y1+y2)
∴kAB=4/(y1+y2)
∴ 直线AB y-y1=4/(y1+y2)(x-x1)
∴ y=4x/(y1+y2)+y1-4x1/(y1+y2)
∴ y=4x/(y1+y2)+(y1^2-4x1+y1y2)/(y1+y2)
∵ y1^2=4x1, y1y2=-16
∴ y=4x/(y1+y2)-16/(y1+y2)
∴ y=4(x-4)/(y1+y2)
∴ AB过定点（4，0）

（3）设OA∶y=kx，代入y^2=4x
得：x=0，x=4/k^2
∴ A（4/k^2,4/k）
同理，以-1/k代k得B（4k^2，-4k）
∴ x0=2(k^2+1/k^2),y0=2(1/k-k)
∵k^2+1/k^2=(1/k-k)^2+2
∴x0/2=(y0/2)^2+2
即y0^2=2x0-8
∴ 中点P轨迹方程为y^2=2x-8

（4）直线AB过定点P（4，0）
S△AOB=S△AOP+S△BOP=1/2*OP*（|y1|+|y2|）=2（|y1|+|y2|）≥4根号（|y1y2|）=16
当且仅当|y1|=|y2|=4时，等号成立

Answer 2

静下心来,设,联立 韦达定理 高考考得都是没什么技巧的,靠算!!!