Question

已知函数f(x)=log1/2cos(3/x+pai/4)

（1）求f(x)的定义域
（2）求f(x)的单调区间
（3)证明直线x=9pai/4是f(x)图像的一条对称轴方程

请您解答 希望您可以除了把具体解题步骤写写外，把涉及的一些基础知识带进去
log（1/2）^cos(3/x + π/4)

Answer 1

1
根据对数函数的定义域有:cos(3/x+pai/4)>0→-π/2+2kπ<3/x+π/4<π/2+2kπ→
-3π/4+2kπ<3/x<π/4+2kπ→
{
k≥1时, x∈（ 3/(π/4+2kπ) , 3/(-3π/4+2kπ) ）;
k=0时, x∈（-∞，-4/π）∪（12/π，+∞）；
k≤-1时, x∈（ 3/(π/4+2kπ) , 3/(-3π/4+2kπ) ）;

综上，因为k可以取任意整数值，所以取并集，则f(x)的定义域是 x∈（-∞，-4/π）∪……∪（ 3/(π/4+2kπ) , 3/(-3π/4+2kπ) ）∪……∪（12/π，+∞）。k为任意整数。

2
令u=3/x+pai/4;
当x∈（-12/π，-4/π）时，令a<b<-4/π；则u(a)-u(b)=3(1/a-1/b)>0.
即u(a)>u(b).
x∈（-12/π，-4/π）则u=3/x+pai/4∈(-π/2,0),
则cos u(a) > cos u(b)
则 log1/2 cos u(a) < log1/2 cos u(b).
即f(a) < f(b).
则在区间（-12/π，-4/π）上,f(x)单调递增.
同理可证:当x∈（-∞,-12/π]及x∈（12/π，+∞）时,f(x)单调递减.

当x∈（ 3/(-π/4+2kπ) , 3/(-3π/4+2kπ)）(k>0)时，令 3/(-π/4+2kπ) <a<b< 3/(-3π/4+2kπ),则3/x+pai/4∈[2kπ,π/2+2kπ) 则可以证明 f(a) < f(b).
则在区间（ 3/(-π/4+2kπ) , 3/(-3π/4+2kπ)）上,f(x)单调递增.
同理可证:当x∈[ 3/(π/4+2kπ) , 3/(-π/4+2kπ) )时,f(x)单调递减.

用同样方法可以证明当k<0时f(x)的单调性.

3
若要直线x=9pai/4是f(x)图像的一条对称轴,则必有:
f(9pai/4-t)=f(9pai/4+t)→令t=9pai/4-x,则有f(x)=f(2×9pai/4-x)=f(9pai/2-x).
//这里考察的是函数的对称性.

∵f(9pai/2-x)
=log1/2 cos[3/(9pai/2-x)+pai/4]
→经整理得,log1/2 cos[3/(9pai/2-x)+pai/4]
=log1/2cos(3/x+pai/4)
=f(x).
则直线x=9pai/4是f(x)图像的一条对称轴方程

Answer 2

你是不是想说log（1/2）^cos(3/x + π/4) 额

Answer 3

dsf