Question

一道数学题，帮帮忙

如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(1)如图6，过P做PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，
∴PM=DC－12.
∵QB=16－t,
∴S=×12×(16－t)=96－6t.
(2)如图6可知，CM=PD=2t,CQ=t.
若以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
1若PQ=BQ.在Rt△PMQ中，PQ2=t2＋122.
由PQ2=BQ2,得t2＋122=(16－t)2,解得t=.
2若BP=BQ,在Rt△PMB中，
BP2=(16－2t)2＋122.
由BP2=BQ2,得(16－2t)2＋122=(16－t)2,
即3t2－32t＋144=0.
∵△=－704<0,
∴3t2－32t＋144=0无解，∴BP≠BQ.
3若BP=PQ,由BP2=PQ2,
得t2＋122=(16－2t)2＋122,
整理得3t2－64t＋256=0,
解得t1=,t2=16(不合题意，舍去)
综合上面的讨论可知，当t=秒或t=秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形�
(3)如图7，由△OAP∽△OBQ,得==
∵AP=2t－21,BQ=16－t,
∴2(2t－21)=16－t.
∴t=过点Q做QE⊥AD,垂足为E�
∵PD=2t,ED=QC=t,∴PE=t.
在Rt△PEQ中，tan∠QPE===.
∵∠BQP=∠QPE,∴∠BQP的正切值为�
(4)设存在时刻t，使得PQ⊥BD.如图8，过点Q做QE⊥AD，垂足为E�由Rt△BDC∽Rt△QPE,
得=,即=,
解得t=9.
所以，当t=9秒时，PQ⊥BD

Answer 2

直线AB的斜率：(2-1)/(1-3)=-1/2
则垂直平分线的斜率为：-1/(-1/2)
=2
AB的中点（(1+3)/2，(2+1)/2）即(2，3/2)
则垂直平分线的方程为：y
-3/2=2(x-2)
化为一般式：4x-2y-5=0

Answer 3

4x-2y-5=0

Answer 4

Y=x

Answer 5

画图，用中点坐标公式