Question

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1。

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1。
（1）求f(x)的解析式
（2）在区间[-1,1]上，y=f(x)的图像在y=2x+m的上方，试确定m的范围

（1）得到f(x)=x^2-x+1
(2)怎么做，过程详细，谢谢

Answer 1

（2）当x=1时，f（x）=1.
f(x)的在y=2x+m上方的临界条件是直线与曲线的交点在（1，1），而直线的点为（1，2+m） 于是只要2+m<1 即m<-1时符合条件。

Answer 2

也就是说，对于[-1，1]上的每一点来说
x^2-x+1>=2x+m
即m<=x^2-3x+1 x属于[-1，1]
m<=x^2-3x+1 在[-1，1]上的最小值
m<=-1

Answer 3

解：由题意可得
x²-x+1≥2x+m,即m≤x²-3x+1=(x-1.5)²-1.25
∵[-1,1]在对称轴x=1.5的左边
∴y=(x-1.5)²-1.25在[-1,1]上单调递减
∴当x=1时(x-1.5)²-1.25最小为-1
∴m≤-1

Answer 4

(1) f(x)=a(x^2)+bx+c. ①
f(0)=1 → c=0.
f(x+1)=a((x+1)^2)+b(x+1)+c ) ②
①-② → (2x+1)a+b=2x ③
a有无穷个解。取简。设 a=1.
代入③，得：b=-1. 所以：f(x)=x^2-x+1.

(2) x^2-x+1≥2x+m, 在区间[-1,1]上。
X=1时2x+m最大。X=1带入，得
1^2-1+1=≥2+m → -∞<m ≤-1.