Question

积分与导数的意义

假如(不考虑特殊情况)：
一个函数F(x)的导数是f(x)
f(x)的积分是F(x)

我已知道：
F(x)的导数的意义 是函数在某一点的切线的斜率(可以用极限证明)

但 f(x)的积分为函数与x轴围成的面积 我不能理解为什么？

那位高手能给个证明方法或思路
(雪山大黑狼 - 助理 二级 2009-6-20 13:34)
(pinghuang_sh - 高级经理 六级 2009-6-20 13:26)
我知道求不规则图形的面积是分割成极小的dx 再求和

已知：一个函数F(x)的导数是f(x),则f(x)的积分是F(x)，这是书上的公式
求：为啥f(x)的积分在某一点的值F(x0) 为函数f(x)在x从x0到0之间与x轴围成的面积？
两位是答非所问

(瘗鹤 - 江湖新秀 四级 2009-6-20 13:4)
请大家搞清楚我问的是什么？
我要的是理解积分（一个数学名称）为啥是函数的面积

不要跟我说 “就这样理解吧 积分就是和的极限 ，不需要再理解了 就跟苹果熟了就要从树上掉下来一样”

(shenqi41271 - 进士出身 九级 2009-6-20 14:04)
大哥 我要问的就是 ： f(x)Δx的无限叠加，为啥就是f(x)的积分（积分 一个数学名词）。

>>>>请大家理解我的意思再回答 不要灌水<<<<

Answer 1

积分的意义：直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。

导数的意义：函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

扩展资料：

导数的求导法则：

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

Answer 2

　　微积分基本定理由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。
　　对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

Answer 3

面积是什么？是选定f(x)这个图形的一个边或顶点，沿坐标轴方向向另一边叠加。

怎么叠加？是一堆宽度极小的近似矩形的面积叠加。

不妨设这个面积沿x轴叠加，把这个面积看成关于x的函数。

那两个相邻x值（相差一个极小值Δx）对应的面积的变化量是什么？就是两个相
邻面积的差，就是差一个宽度为极小值Δx的近似矩形的面积。

矩形面积是什么？就是高度f(x)乘以宽度Δx。

也就是f(x)的面积是f(x)Δx的无限叠加，就是f(x)的积分。

因为F(x) = x² 等于∫2tdt从0积到x，后面这个积分中表示2tdt表示高为2t宽度为微小值dt的近似矩形面积。从0积到x就是把曲线y=2t下面的近似矩形的面积从t=0开始到t=x结束叠加起来，就是y=2t在0到x之间的与x轴围成的面积，t是自变量，也可以写成x

积分的定义就是这，好吧？ lim∑f(xi)Δxi = ∫f(x)dx

Answer 4

你可以这样来理解：
1.积分。积分就是求一条曲线的面积。我们知道矩形的面积是底乘以高；而一条曲线在每一点上的值都不一样；怎么办？于是，我们可以将这条曲线分割成很多小单元，而每个小单元我们认为其值是一个定值；这样我们就可以计算曲线的面积了；当分割的单元越多时，这样的计算就越准确；
2.微分。分割成无穷的小单元的过程就是求导，即微分。所以微分的积分就是求 f(x)的积分为函数与x轴围成的面积。

Answer 5

其实积分就是无限求和
把一个函数的图像分成无限小段则可以认为是无数个矩形面积之和
f(x)在（a,b）上的积分算法为F(b)*b-F(a)*a
此时F(b)*b即为b处的矩形的面积