Question

求助线性代数问题

第三问请给具体步骤，谢谢

Answer 1

忘记我前面说的JONDAN标准型吧，我当时没考虑“A是上三角阵”这个条件。
我仔细看了下那个人写的答案，我觉得结果是对的，但过程的确有点抽象，估计那人是个高手。

我尽量通俗地写一下我的想法：

现在的已知条件是：
（1）A的主对角线元素是1,-1,...,-1
（2）A是上三角阵
（3）A^2＝I
问题是要找出所有符合条件的A

是这样没错吧。

××××××××××××××××××××××××××××××××××
我的想法是用数学归纳法，即先承认n-1阶矩阵必须满足这样的形式，在此基础上推出n阶矩阵也必须是这样的形式。

过程：
（1）当A是2阶矩阵的时候，很显然，对于任意的
1 a12
0 -1
都是满足条件的。

（2）当A是3阶矩阵的时候,我们假设A＝
1 a12 a13
0 -1 a23
0 0 -1
再用条件“A^2＝I”可以确定a23=0，所以A＝
1 a12 a13
0 -1 0
0 0 -1

（3）于是我们猜想,An是不是应该有这样的形式：
1 a12 a13 ... a1n
0 -1 0 ... 0
0 0 -1 ... 0
...
0 0 0 ... -1
事实上确实如此，现在来证明这个命题。

（4）假设A是n-1阶矩阵的时候该命题成立，则A(n-1)＝
1 a12 a13 ... a1n-1
0 -1 0 ... 0
0 0 -1 ... 0
...
0 0 0 ... -1
且[A(n-1)]^2=I
则将A(n-1)加上一行一列得到A(n)用分块矩阵表示是：
A(n-1) b
0 -1
其中b是一个待定的列向量。
由[A(n)]^2=I，以及假设[A(n-1)]^2=I，可得b除了第一个元素之外，必须都等于0。
（这个不难验证，我算过，的确是如此，百度不太好打公式，我就不写了，实在抱歉）

因此A每增加一阶相当于在矩阵的左边和下边填上这样的一行和一列：
* * * * * m
* * * * * 0
* * * * * 0
* * * * * 0
* * * * * 0
0 0 0 0 0 -1
其中m是任意数。

故所有的A是：
1 a12 a13 ... a1n
0 -1 0 ... 0
0 0 -1 ... 0
...
0 0 0 ... -1

Answer 2

楼上明显错误嘛
对角线元素从左上到右下是1和-1交替的
题目看上去很烦，其实很简单，口算都可以，就是写起来麻烦
搂主不要懒惰，自己动手，算完2阶和3阶的就知道规律了
最后求所有An的时候，rank(An-E)=n-1是对n进行了限制，而不是考虑什么复杂的矩阵知识，不要被吓倒了。
整个题目并不需要多少矩阵知识，只是一般的运算，根本用不上约旦标准型。

用100分求解这么简单地题目，不值。建议关闭吧