先看定义:形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程,称为可分离变量的微分方程。如果方程能化为 ∫g(y)dy=∫f(x)dx,则就是分离变量的微分方程。
求解可分离变量的微分方程的方法为:将方程分离变量得到:g(y)dy=f(x)dx;等式两端求积分,得通解:∫g(y)dy=∫f(x)dx+C。
形如f(x)g(y)dx=d(x)e(x)dy的方程叫做可分离变量微分方程。例如
dy/dx=y/x……可分离变量微分方程
--->dy/y=dx/x……已分离变量微分方程
积分之??lny=lnx+lnC
--->y=Cx.
(x+xy^2)dx=(y+yx^2)dy…………可分离变量
--->ydx/(1+y^2)=xdy/(1+x^2)……已分离变量
积分得到1/2*ln(1+y^2=1/2*ln(1+x^2+lnC1
--->1+y^2=C(1+x^2
可分离变量微分方程是最为简单的一种微分方程。一些复杂一点的微分方程尽可能地化成可分离变量微分方程,如果能够做到,问题就得到解决。
扩展资料:
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点。
求解可分离变量的微分方程的方法为:
(1)将方程分离变量得到:g(y)dy=f(x)dx;
(2)等式两端求积分,得通解:∫g(y)dy=∫f(x)dx+C
参考资料来源:百度百科-可分离变量微分方程
2024-10-13 广告
举个例子:dy/dx=xy →分离变量,得(1/y)dy=xdx (这一步其实就是移项,g(y)函数跟dy放一块,f(x)函数跟dx放一块) g(y)是y的函数 f(x)是x的函数
参考资料: http://jpkc.cec.edu.cn/jpkc/sx/MyWebs/zsd/ch4/right4.2.1.htm
凡经过积分的不定积分,均需加常数c(constant
),至于加c1或c2或c,这本身不是问题,你也可以用a、b等随意一个字母来表示,不过一般是用c,因为它是英文constant的首字母。
只是为了区分各个步骤中的常数,防止混乱,并且每经过一步运算,常数在下一步中可能变成了另一个常数,所以变换一下,只是为了区分,没有什么意义。
2。说e的c1次幂是任意常数是对的,因为c1是任意常数,当然e的幂次方也就是常数喽。
用e不是随便用的,地在积分运算过程中产生的,比如e^x这样的式子积分后,或者1/x类似的式子积分后的lnx,为了便于计算,会转化为指数e的式子,如上式即是。