Question

一道二重积分的题目

D=0≤x≤1,0≤y≤2
则估计I=∫∫（x+y+1）dxdy的值
a.[2,8] b.[1,4]
c.[2,4] d.[1,8]
求解！

Answer 1

a
0≤x≤1,0≤y≤2
∫∫（0+0+1）dxdy<=∫∫（x+y+1）dxdy<=∫∫（1+2+1）dxdy
∫∫dxdy<=∫∫（x+y+1）dxdy<=∫∫4dxdy
而∫∫dxdy即矩形D=0≤x≤1,0≤y≤2的面积：2
所以
2<=∫∫（x+y+1）dxdy<=8

Answer 2

I=∫∫（x+y+1）dxdy=∫(1/2x^2+xy+x）|(0,1)dy
=∫（1/2+y+1）dy=∫（y+3/2）dy=(1/2y^2+3/2y)|(0,2)=2+3=5
根据题目的要求，D的面积为1*2=2
x+y+1>=0+0+1=1，所以I>=1*2=2
x+y+1<=1+2+1=4，所以I<=4*2=8
选A