Question

已知a,b,c均为整数，且满足a^2+b^2+c^2+3<ab+3b+2c.则以a+b.c-b为根的一元二次方程是（ ）

已知a,b,c均为整数，且满足a^2+b^2+c^2+3<ab+3b+2c.则以a+b.c-b为根的一元二次方程是（ ）
A.x^2-3x+2=0 B.x^2+2x-8=0 C.x^2-4x-5=0 D.x^2-2x-3

Answer 1

由于题目并没有限定为正整数，只能按整数来解，所以解起来有些麻烦。

解：原式变形为：
2a²+2b²+2c²+6<2ab+6b+4c
整理,得
a²+(a-b)²+(b-3)²+2(c-1)²<5 ···········（1）
由于a、b、c是整数，所以必有：
2(c-1)²≤4
0≤(c-1)²≤2
符合以上的条件的完全平方数只有：0、1，即：(c-1)²=0或1，解得：c=0，1，2；
①当c=0时，（1）式变形为：a²+(a-b)²+(b-3)²<3，则有：0≤a²<3，同理a²只能等于0和1，解得a=0，-1，1；此时的b无解；

②当c=1时，（1）式变形为：a²+(a-b)²+(b-3)²<5，则有：0≤a²<5，此时a²只能等于0、1、4，解得a=0，±1，±2；此时的b=2，a=1；

③当c=2时，（1）式变形为：a²+(a-b)²+(b-3)²<3，则有：0≤a²<3，此时a²只能等于0、1，解得a=0、-1、1；此时的b无解；

综上，得：a=1，b=2，c=1；
a+b=3
c-b=-1
则以a+b、c-b为根的一元二次方程是：x²-2x-3=0，故选D。

Answer 2

已知a,b,c均为整数，且满足a^2+b^2+c^2+3<ab+3b+2c.则以a+b.c-b为根的一元二次方程是（ ）
A.x^2-3x+2=0 B.x^2+2x-8=0 C.x^2-4x-5=0 D.x^2-2x-3
解：原式变形为：
2a²+2b²+2c²+6<2ab+6b+4c
整理,得
a²+(a-b)²+(b-3)²+2(c-1)²<5
由于a、b、c是整数，所以必有：
2(c-1)²≤4
0≤(c-1)²≤2
符合以上的条件的完全平方数只有：0、1，即：(c-1)²=0或1，解得：c=1，2，0；