Question

高数题（极限存在准则，两个重要极限）

设数列{xn}由下式给出：X0＞0，Xn+1＝1／2（Xn+ 1／Xn） （n=1，2，。。。）证明lim Xn 存在，求其值

Answer 1

归纳法得xn≥1，n≥1时，｛xn｝有下界
X(n+1)－Xn＝1/2×(1+Xn)(1-Xn)/Xn≤0，所以｛Xn}单调减少
所以｛Xn}有极限，设极限是a
在Xn+1＝1／2（Xn+ 1／Xn）两边取极限，a＝1/2(a+1/a)，得a＝1（由极限的保号性，a＝－1舍去）

Answer 2

先用单调有界原理证明极限存在,
因为Xn+1=1／2（Xn+1／Xn）< Xn,所以数列{ Xn }单调递减，
Xn>0,所以数列有下界。
由单调有界原理得极限存在。
设limXn=a，则limXn+1=a
对等式Xn+1＝1／2（Xn+ 1／Xn）两边求极限得：a=1／2（a+ 1／a）
a=1／√2 i