Question

已知函数f(x)=x²+ax+b满足0≤p≤1，p+q=1,证明pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).

Answer 1

∵当p=0时，q=1，则pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立,
当q=0时，p=1，则pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立。
∴设0<p<1,则p>p²。
∴p-p²>0 。
∵ x²+y²≥2xy
∴(p-p²)(x²+y²)≥2(p-p²)xy
(p-p²)x²+(p-p²)y²≥2p（1-p）xy
将q=1-p代入，化简得 (p-p²)x²+(q-q²)y²≥2pqxy
∴px²+qy²≥p²x²+q²y²+2pqxy
∴px²+qy²≥(px+qy)²
∴ p（x²+ax+b）+q（y²+ay+b）≥(px+qy)²+a（px+qy）+b
∴pf(x)+qf(y)≥f(px+qy) 。
故当0≤p≤1，p+q=1时，pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立。

Answer 2

(注意随时使用条件：0≤p≤1，p+q=1)
我们恒有：(x-y)²≥0
所以：x²+y²≥2xy==>
pqx²+pqy²≥2pqxy==>
p(1-p)x²+(1-q)qy²≥2pqxy==>
px²+qy²≥p²x²+2pqxy+q²y²==>
(px²+qy²)+(pax+qay)+(pb+qb)≥(px+qy)²+(pax+qay)+b==>
p(x²+ax+b)+q(y²+ay+b)≥(px+qy)²+a(px+qy)+b==>
pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)
证毕。

Answer 3

(注意随时使用条件：0≤p≤1，p+q=1)
我们恒有：(x-y)²≥0
所以：x²+y²≥2xy
==>
pqx²+pqy²≥2pqxy
==>
p(1-p)x²+(1-q)qy²≥2pqxy
==>
px²+qy²≥p²x²+2pqxy+q²y²
==>
(px²+qy²)+(pax+qay)+(pb+qb)≥(px+qy)²+(pax+qay)+b
==>
p(x²+ax+b)+q(y²+ay+b)≥(px+qy)²+a(px+qy)+b
==>
pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)
证毕。

Answer 4

(注意随时使用条件：0≤p≤1，p+q=1)

我们恒有：(x-y)²≥0
所以：x²+y²≥2xy ==>
pqx²+pqy²≥2pqxy ==>
p(1-p)x²+(1-q)qy²≥2pqxy ==>
px²+qy²≥p²x²+2pqxy+q²y² ==>
(px²+qy²)+(pax+qay)+(pb+qb)≥(px+qy)²+(pax+qay)+b ==>
p(x²+ax+b)+q(y²+ay+b)≥(px+qy)²+a(px+qy)+b ==>
pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)
证毕。