Question

帮忙 ! 一道高中平面几何题

已知焦点在X轴上的双曲线C的两条渐进线过坐标原点,且两条渐进线与以点A(0,根号2)为圆心,1为半径的圆 相切,又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称
(1)求双曲线C的方程
(2)若Q是双曲线C上的任一点,F1,F2为双曲线C的左右两个焦点,从F1引角F1QF2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.
(3)设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线l经过M(-2,0)及AB的中点,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.

Answer 1

（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0
∵该直线与圆x²+(y-根号2)²=1相切
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=正负x
故设双曲线C的方程为x²/a²-y²/a²=1
又∵双曲线C的一个焦点为(根号2,0)
∴2a²=2,a²=1
∴双曲线C的方程为x²-y²=1
（2）若Q在双曲线的右支上，延长QF2到T，使|QT|=|OF1|
若Q在双曲线的左支上，在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|
根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2(根号2,0)为圆心，2为半径的圆上
即点T的轨迹方程是(x-根号2)²+y²=4(x≠0) ①
由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（xT,yT）
则x=(xT-根号2)/2,y=yT/2
即xT=2x+根号2,yT=2y
代入①并整理得点N的轨迹方程为x²+y²=1(x≠根号2/2)
（3）由y=mx+1,x²-y²=1得
(1-m²)x²-2mx-2=0
令f(x)=(1-m²)x²-2mx-2
直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A,B两点,即方程f(x)=0在(-无穷,0)上有两个不等实根
因此判别式＞0
2m/(1-m²)＜0
-2/(1-m²)＞0
解得1＜m＜根号2
又AB中点为 (m/(1-m²),1/(1-m²))
∴直线L的方程为y=(x+2)/(-2m²+m+2)
令x=0，得b=2/(-2m²+m+2)=2/[-2(m-1/4)²+17/8]
∵1＜m＜根号2
∴-2+根号2＜-2(m-1/4)²+17/8＜1
∴b的取值范围是(-无穷,-2-根号2)∪(2,+无穷)

Answer 2

悬赏分：5
分数那么少，题目那么难
有人写？